Калкулатор за Квадратни Уравнения

Решавайте квадратни уравнения, изчислявайте дискриминанта, намерете върха и преобразувайте във факторизирана форма с нашия безплатен калкулатор за квадратни уравнения

Налични Калкулатори

Какво е Квадратно Уравнение?

Квадратното уравнение е полиномно уравнение от втора степен, обикновено записано като ax² + bx + c = 0, където a, b и c са коефициенти и a ≠ 0. Квадратните уравнения са фундаментални в алгебрата и се появяват в много реални приложения, от физиката до икономиката.

Квадратна Формула

Квадратната формула се използва за решаване на квадратни уравнения:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Дискриминанта

Дискриминантата (Δ = b² - 4ac) определя природата на корените: ако Δ > 0, има два различни реални корена; ако Δ = 0, има един повтарящ се реален корен; ако Δ < 0, има два комплексни корена.

Примери за Квадратни Изчисления

Ето няколко ежедневни ситуации, които показват колко лесно е да използвате нашия калкулатор за квадратни уравнения.

Пример 1: Решете x² - 5x + 6 = 0

Решете квадратното уравнение x² - 5x + 6 = 0.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Какви са корените на x² - 5x + 6 = 0?

Калкулаторът връща: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Използваната формула е:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Пример 2: Анализ на Дискриминантата

Изчислете дискриминантата на x² + 4x + 4 = 0.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Каква е дискриминантата на x² + 4x + 4 = 0?

Калкулаторът връща: Δ = 0 (един повтарящ се корен)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Тъй като Δ = 0, има един повтарящ се корен

Използваната формула е:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Пример 3: Намерете Върха

Намерете върха на параболата y = x² - 4x + 3.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Какъв е върхът на y = x² - 4x + 3?

Калкулаторът връща: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Връх x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Връх y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Връх: (2, -1)

Използваната формула е:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Пример 4: Факторизирана Форма

Преобразувайте x² - 5x + 6 = 0 във факторизирана форма.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Каква е факторизираната форма на x² - 5x + 6?

Калкулаторът връща: (x - 2)(x - 3)

Корени: x = 2, x = 3
Факторизирана форма: (x - 2)(x - 3)

Използваната формула е:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Пример 5: Български Спортен Проектил

Футболна топка е изстреляна нагоре в мач на стадион "Васил Левски" в София. Намерете кога тя докосва земята, използвайки h = -5t² + 15t = 0.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Кога топката докосва земята?

Калкулаторът връща: t = 0, t = 3 секунди

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 или t = 3 секунди

Използваната формула е:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Пример 6: Проблем с Площ

Правоъгълник има дължина x и ширина (10 - x). Намерете x, когато площта е 24.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Какво е x, когато x(10 - x) = 24?

Калкулаторът връща: x = 4 или x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 или x = 6

Използваната формула е:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Пример 7: Комплексни Корени

Решете x² + 2x + 5 = 0.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Какви са корените на x² + 2x + 5 = 0?

Калкулаторът връща: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Тъй като Δ < 0, корените са комплексни
x = -1 ± 2i

Използваната формула е:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Пример 8: Максимална Печалба Български Бизнес

Български бизнес иска да намери цената, която максимизира печалбата: P = -2p² + 40p - 100, където p е в лева.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Коя цена в лв максимизира печалбата?

Калкулаторът връща: p = 10 лв

Връх x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Максимална печалба при p = 10 лв

Използваната формула е:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Пример 9: Перфектен Квадрат

Решете x² - 6x + 9 = 0.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Какъв е коренът на x² - 6x + 9 = 0?

Калкулаторът връща: x = 3 (повтарящ се)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (повтарящ се корен)

Използваната формула е:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Пример 10: Факторизация

Преобразувайте 2x² - 8x + 6 = 0 във факторизирана форма.

Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:

Каква е факторизираната форма на 2x² - 8x + 6?

Калкулаторът връща: 2(x - 1)(x - 3)

Корени: x = 1, x = 3
Факторизирана форма: 2(x - 1)(x - 3)

Използваната формула е:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Резюме

Тези примери показват как нашият калкулатор за квадратни уравнения може да обработва:

  • •Решаване на квадратни уравнения (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Изчисляване на дискриминанти (Δ = b² - 4ac)
  • •Намиране на върхове на параболи
  • •Преобразуване във факторизирана форма

Можете да адаптирате всяка реална ситуация, включваща квадратни уравнения, към един от тези модели и да оставите калкулатора да свърши работата вместо вас.

Как да Използвате

  1. Въведете коефициентите a, b и c на квадратното уравнение ax² + bx + c = 0.
  2. Изберете типа изчисление, от който се нуждаете (решаване, дискриминанта, връх или факторизирана форма).
  3. Вижте резултата и стъпка по стъпка обяснение на изчислението.

Често задавани въпроси

Какво е квадратната формула?

Квадратната формула е x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, използвана за решаване на квадратни уравнения от вида ax² + bx + c = 0.

Какво е дискриминантата?

Дискриминантата (Δ = b² - 4ac) определя природата на корените: ако Δ > 0, има два реални корена; ако Δ = 0, един повтарящ се корен; ако Δ < 0, два комплексни корена.

Свързани инструменти

За този инструмент

Публикувано от Online Tools Center

Последна актуализация:

Проверете мерните единици, допусканията и закръгляването, преди да използвате резултата. Здравните и финансовите оценки са с образователна цел и не заменят индивидуална професионална консултация.

Открихте грешка? Изпратете името на инструмента, въведените данни, очаквания и получения резултат, за да проверим.

Сигнал за проблем