Въведете поне 3 стойности (страни или ъгли) в полетата за въвеждане около диаграмата на триъгълника.
Изберете предпочитаната от вас единици за ъгъл (градуси или радиани) от падащото меню.
Кликнете върху Изчисли, за да решите триъгълника и да видите всички измервания, площ, периметър и др.
Често задавани въпроси
Какви методи може да използва този калкулатор за решаване на триъгълници?
Този калкулатор може да решава триъгълници, използвайки методите ССС (три страни), СЪС (две страни и ъгъл между тях), ЪСЪ (два ъгъла и страна между тях), ЪЪС (два ъгъла и страна) и ССЪ (две страни и ъгъл не между тях).
Каква е разликата между градуси и радиани?
Градусите и радианите са два начина за измерване на ъгли. Пълният кръг е 360° или 2π радиана. За преобразуване: градуси = радиани × (180/π), радиани = градуси × (π/180).
Проверете мерните единици, допусканията и закръгляването, преди да използвате резултата. Здравните и финансовите оценки са с образователна цел и не заменят индивидуална професионална консултация.
Открихте грешка? Изпратете името на инструмента, въведените данни, очаквания и получения резултат, за да проверим.
Решете всеки триъгълник, като използвате методите SSS, SAS, ASA, AAS и SSA. Изчислете страни, ъгли, лице, периметър, височини, медиани и много други.
Решаване на Триъгълник
°
°
°
Какво е триъгълник?
Триъгълникът е тристранен многоъгълник с три върха и три ъгъла. Сумата от всички вътрешни ъгли в триъгълника винаги е равна на 180° (или π радиана). Триъгълниците могат да бъдат класифицирани според страните им (равностранен, равнобедрен, разностранен) или според техните ъгли (остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен). Нашият калкулатор за триъгълници може да реши всеки триъгълник, когато предоставите поне три измервания: три страни (SSS), две страни и ъгъла между тях (SAS), два ъгъла и страна (ASA или AAS) или две страни и срещулежащ ъгъл (SSA - двусмислен случай).
Нотация на триъгълник
В нашия калкулатор за триъгълници използваме стандартна нотация, при която страните и ъглите са свързани по следния начин:
Страната a е срещуположна на ъгъла A (α)
Страната b е срещуположна на ъгъла B (β)
Страната c е срещуположна на ъгъла C (γ)
Сумата от ъглите A + B + C винаги е 180° (или π радиана).
📏 Медиани на триъгълник
Медианата на триъгълник е отсечка, която свързва връх със средата на срещуположната страна. Всеки триъгълник има три медиани, които се пресичат в една-единствена точка, наречена медицентър.
Медицентърът разделя всяка медиана в съотношение 2:1, като по-дългата част е близо до върха.
⭕ Радиус на вписаната окръжност (Inradius)
Радиусът r е радиусът на вписаната окръжност (incircle), която е най-голямата окръжност, която може да се побере вътре в триъгълника.
r = (Лице ÷ s) (където s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sЛице(къдетоs=2a+b+c)
Центърът на вписаната окръжност се нарича инцентър, където се срещат ъглополовящите на ъглите.
🔵 Радиус на описаната окръжност (Circumradius)
Радиусът R е радиусът на описаната окръжност (circumcircle), която минава през трите върха на триъгълника.
R = (abc ÷ (4 × Лице))
R=4×Лицеabc
Центърът на описаната окръжност се нарича циркумцентър, където се срещат симетралите на страните.
💡 Интересни факти за триъгълниците
• Сумата от дължините на всеки две страни на триъгълник трябва да бъде по-голяма от дължината на третата страна (неравенство в триъгълника).
• Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник винаги е 180 градуса.
• Най-голямата страна винаги е срещу най-големия ъгъл, а най-малката страна е срещу най-малкия ъгъл.
• Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от двата несъседни вътрешни ъгъла.
• Медицентърът (пресечната точка на медианите) е центърът на тежестта на триъгълника.
• В правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е центърът на описаната окръжност.
Синусова теорема
Синусовата теорема гласи, че съотношението между дължината на страната на триъгълник и синуса на нейния срещуположен ъгъл е постоянно за трите страни и ъгли. Този закон е особено полезен за решаване на триъгълници, когато знаете два ъгъла и една страна (ASA или AAS) или две страни и срещулежащ ъгъл (SSA).
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Косинусова теорема
Косинусовата теорема свързва дължините на страните на триъгълник с косинуса на един от неговите ъгли. Тя е полезна за решаване на триъгълници, когато знаете три страни (SSS) или две страни и ъгъла между тях (SAS). Тази теорема е обобщение на Питагоровата теорема.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Формула за лице на триъгълник (Херонова формула)
Хероновата формула ви позволява да изчислите лицето на триъгълник, когато знаете и трите страни. Първо изчислете полупериметъра s = (a + b + c)/2, след което използвайте формулата по-долу. Това е една от най-елегантните формули в геометрията.
Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) където s = ((a+b+c) ÷ 2)
Area=s(s−a)(s−b)(s−c)къдетоs=2a+b+c
Примери за изчисление на триъгълник
Пример 1: Равностранен триъгълник
Равностранен триъгълник има и трите си страни равни на 12 метра. Намерете всички ъгли и лицето.
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
Какви са ъглите и площта на равностранен триъгълник със страни от 12 метра?
Калкулаторът връща:
Всички ъгли са 60° (π/3 радиана), Лице = 62.354 m²
Solution Steps:
Дадено: Всички страни a = b = c = 12 метра
В равностранен триъгълник всички ъгли са равни
Всеки ъгъл = 180° / 3 = 60° = π/3 радиана
Използване на формулата за лице: Лице = (√3/4) × 12² = 62.354 m²
Използваната формула е:
Area = (√(3) ÷ 4)a^2 = (√(3) ÷ 4)(12)^2 ≈ 62.354
Area=43a2=43(12)2≈62.354
Пример 2: SSS - Известни три страни
Триъгълник има страни от 8 cm, 11 cm и 14 cm. Намерете всички ъгли и лицето.
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
Решете триъгълник със страни a = 8, b = 11, c = 14.
От точка на 550 метра от основата на планина ъгълът на елевация до върха е 35°. Ако наблюдателят е на нивото на земята, колко висока е планината?
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
Намерете височината при хоризонтално разстояние = 550 m и ъгъл = 35°.
Калкулаторът връща:
Височина ≈ 385.1 метра
Solution Steps:
Дадено: хоризонтално разстояние = 550 m, ъгъл на елевация = 35°
Използване на тригонометрия на правоъгълен триъгълник: tan(35°) = височина / 550
височина = 550 × tan(35°) ≈ 550 × 0.7002
височина ≈ 385.1 метра
Използваната формула е:
h = 550 × (35°) ≈ 550 × 0.7002 ≈ 385.1
h=550×tan(35°)≈550×0.7002≈385.1
Пример 5: Проектиране на покривна конструкция
Покривна ферма има хоризонтална греда от 10 метра. Двете наклонени греди се срещат в пик на 4 метра над центъра. Намерете дължината на всяка наклонена греда.
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
Намерете дължината на наклонената греда при основа = 5 m (половината от 10) и височина = 4 m.
Калкулаторът връща:
Всяка наклонена греда ≈ 6.40 метра
Solution Steps:
Половината от основата = 10/2 = 5 метра
Височина = 4 метра
Използване на Питагоровата теорема: s² = 5² + 4²
s² = 25 + 16 = 41
s = √41 ≈ 6.40 метра
Използваната формула е:
s = √(5^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √(41) ≈ 6.40
s=52+42=25+16=41≈6.40
Пример 6: ASA - Два ъгъла и страна между тях
При проучване два ъгъла на триъгълен парцел са 30° и 60°, а страната между тях е 80 метра. Намерете другите две страни.
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
При дадени ∠A = 30°, ∠C = 60°, b = 80 m, намерете страни a и c.
Калкулаторът връща:
a = 40.00 m, c ≈ 69.28 m
Solution Steps:
Дадено: ∠A = 30°, ∠C = 60°, b = 80 m
Намерете ∠B = 180° - 30° - 60° = 90°
Използване на синусовата теорема: a/sin(30°) = 80/sin(90°)
a = 80 × 0.5 / 1 = 40.00 m
По същия начин c ≈ 69.28 m
Използваната формула е:
(a ÷ 30°) = (80 ÷ 90°) a = ((80 × 30°) ÷ 90°)
sin30°a=sin90°80⇒a=sin90°80×sin30°
Пример 7: Правоъгълен триъгълник (специален случай)
Правоъгълен триъгълник има един катет от 12 cm и хипотенуза от 20 cm. Намерете другия катет и всички ъгли.
Можете да използвате нашия калкулатор, като въведете:
Дадено: един катет = 12 cm, хипотенуза = 20 cm, един ъгъл = 90°.