Geben Sie mindestens 3 Werte (Seiten oder Winkel) in die Eingabefelder um das Dreiecksdiagramm herum ein.
Wählen Sie Ihre bevorzugte Winkeleinheit (Grad oder Bogenmass) aus dem Dropdown-Menü.
Klicken Sie auf Berechnen, um das Dreieck zu lösen und alle Masse, Fläche, Umfang und mehr anzuzeigen.
Häufig gestellte Fragen
Welche Methoden kann dieser Rechner zum Lösen von Dreiecken verwenden?
Dieser Rechner kann Dreiecke mit den Methoden SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel), WSW (zwei Winkel und eine Seite), WWS (zwei Winkel und eine Seite) und SSW (zwei Seiten und nicht eingeschlossener Winkel) lösen.
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Bogenmass (Radiant)?
Grad und Bogenmass sind zwei Arten, Winkel zu messen. Ein Vollkreis entspricht 360° oder 2π Radiant. Zur Umrechnung: Grad = Radiant × (180/π), Radiant = Grad × (π/180).
Prüfen Sie Einheiten, Annahmen und Rundungen, bevor Sie ein Ergebnis verwenden. Gesundheits- und Finanzschätzungen dienen der Information und ersetzen keine individuelle fachliche Beratung.
Einen Fehler gefunden? Senden Sie uns den Toolnamen, die Eingaben sowie das erwartete und tatsächliche Ergebnis, damit wir den Fehler untersuchen können.
Lösen Sie jedes Dreieck mit SSS, SWS, WSW, WWS und SSW Methoden. Berechnen Sie Seiten, Winkel, Fläche, Umfang, Höhen, Seitenhalbierende und mehr.
Dreieckslöser
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Was ist ein Dreieck?
Ein Dreieck ist ein dreiseitiges Polygon mit drei Eckpunkten und drei Winkeln. Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180° (oder π Radiant). Dreiecke können nach ihren Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, unregelmässig) oder nach ihren Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) klassifiziert werden. Unser Dreiecksrechner kann jedes Dreieck lösen, wenn Sie mindestens drei Masse angeben: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS), zwei Winkel und eine Seite (WSW oder WWS) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSW – mehrdeutiger Fall).
Dreiecksnotation
In unserem Dreiecksrechner verwenden wir die Standardnotation, bei der Seiten und Winkel wie folgt in Beziehung stehen:
Die Seite a liegt gegenüber dem Winkel A (α)
Die Seite b liegt gegenüber dem Winkel B (β)
Die Seite c liegt gegenüber dem Winkel C (γ)
Die Summe der Winkel A + B + C ist immer 180° (oder π Radiant).
📏 Seitenhalbierende des Dreiecks
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende, die sich in einem einzigen Punkt schneiden, dem Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, wobei das längere Teilstück am Eckpunkt liegt.
⭕ Inkreisradius (Inradius)
Der Inkreisradius (r) ist der Radius des Inkreises, des grössten Kreises, der in das Dreieck passt.
r = (Fläche ÷ s) (wobei s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sFla¨che(wobei s=2a+b+c)
Der Mittelpunkt des Inkreises wird Inkreismittelpunkt genannt; hier treffen sich die Winkelhalbierenden.
🔵 Umkreisradius (Circumradius)
Der Umkreisradius (R) ist der Radius des Umkreises, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft.
R = (abc ÷ (4 × Fläche))
R=4×Fla¨cheabc
Der Mittelpunkt des Umkreises wird Umkreismittelpunkt genannt; hier treffen sich die Mittelsenkrechten der Seiten.
💡 Interessante Fakten über Dreiecke
• Die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten eines Dreiecks muss grösser sein als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).
• Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
• Die grösste Seite liegt immer dem grössten Winkel gegenüber, und die kleinste Seite dem kleinsten Winkel.
• Ein Aussenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
• Der Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
• In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Umkreismittelpunkt.
Sinussatz
Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge einer Seite eines Dreiecks und dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten und Winkel konstant ist. Dieses Gesetz ist besonders nützlich für das Lösen von Dreiecken, wenn Sie zwei Winkel und eine Seite (WSW oder WWS) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSW) kennen.
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Kosinussatz
Der Kosinussatz setzt die Längen der Seiten eines Dreiecks in Beziehung zum Kosinus eines seiner Winkel. Er ist nützlich für das Lösen von Dreiecken, wenn Sie drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) kennen. Dieses Gesetz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Dreiecksflächenformel (Satz des Heron)
Der Satz des Heron ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, wenn Sie alle drei Seiten kennen. Berechnen Sie zuerst den Halbumfang s = (a + b + c)/2, und verwenden Sie dann die unten stehende Formel. Dies ist eine der elegantesten Formeln in der Geometrie.
Fläche = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) wobei s = ((a+b+c) ÷ 2)
Fla¨che=s(s−a)(s−b)(s−c) wobei s=2a+b+c
Beispiele für Dreiecksberechnungen
Beispiel 1: Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten von 4 Metern. Finden Sie alle Winkel und die Fläche.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Was sind die Winkel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seiten von 4 Metern?
Der Rechner liefert:
Alle Winkel betragen 60° (π/3 Radiant), Fläche = 6,928 m²
Solution Steps:
Gegeben: Alle Seiten a = b = c = 4 Meter
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich
Jeder Winkel = 180° / 3 = 60° = π/3 Radiant
Verwendung der Flächenformel: Fläche = (√3/4) × 4² = 6,928 m²
Die verwendete Formel ist:
Fläche = (√(3) ÷ 4)a^2 = (√(3) ÷ 4)(4)^2 ≈ 6,928
Fla¨che=43a2=43(4)2≈6,928
Beispiel 2: SSS – Drei bekannte Seiten
Ein Dreieck hat Seiten von 9 cm, 10 cm und 11 cm. Finden Sie alle Winkel und die Fläche.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Lösen Sie ein Dreieck mit den Seiten a = 9, b = 10, c = 11.
Ein Landvermesser im Kanton Bern misst zwei Seiten eines dreieckigen Grundstücks als 35 m und 45 m mit einem eingeschlossenen Winkel von 55°. Wie lang ist die dritte Seite?
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben sind die Seiten a = 35 m, b = 45 m und der Winkel C = 55°, finden Sie die Seite c.
Der Rechner liefert:
c ≈ 37,99 Meter
Solution Steps:
Gegeben: a = 35, b = 45, C = 55°
Verwendung des Kosinussatzes: c² = 35² + 45² - 2(35)(45)cos(55°)
In den Schweizer Alpen (Wallis) wird von einem Punkt, der 500 Meter vom Fuss eines Berges entfernt ist, der Neigungswinkel zum Gipfel mit 38° gemessen. Wie hoch ist der Berg?
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Höhe bei einer horizontalen Entfernung von 500 m und einem Winkel von 38°.
Der Rechner liefert:
Höhe ≈ 390,6 Meter
Solution Steps:
Gegeben: horizontale Entfernung = 500 m, Neigungswinkel = 38°
Verwendung der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: tan(38°) = Höhe / 500
Höhe = 500 × tan(38°) ≈ 500 × 0,7813
Höhe ≈ 390,6 Meter
Die verwendete Formel ist:
h = 500 × (38°) ≈ 500 × 0,7813 ≈ 390,6
h=500×tan(38°)≈500×0,7813≈390,6
Beispiel 5: Dachkonstruktion eines Schweizer Chalets
Ein typisches Schweizer Chalet hat einen horizontalen Dachbalken von 10 Metern. Die beiden geneigten Dachbalken treffen sich in einer Spitze 4 Meter über der Mitte. Berechnen Sie die Länge jedes geneigten Balkens.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Länge des geneigten Balkens bei einer Basis = 5 m (Hälfte von 10) und einer Höhe = 4 m.
Der Rechner liefert:
Jeder geneigte Balken ≈ 6,40 Meter
Solution Steps:
Hälfte der Basis = 10/2 = 5 Meter
Höhe = 4 Meter
Verwendung des Satzes des Pythagoras: s² = 5² + 4²
s² = 25 + 16 = 41
s = √41 ≈ 6,40 Meter
Die verwendete Formel ist:
s = √(5^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √(41) ≈ 6,40
s=52+42=25+16=41≈6,40
Beispiel 6: WSW – Vermessung in Zürich
Bei der Vermessung eines dreieckigen Grundstücks in Zürich betragen zwei Winkel 55° und 65°, und die Seite dazwischen ist 45 Meter lang. Finden Sie die anderen beiden Seiten.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben sind ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 45 m, finden Sie die Seiten a und c.
Der Rechner liefert:
a ≈ 42,57 m, c ≈ 47,11 m
Solution Steps:
Gegeben: ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 45 m
Winkel ∠B finden = 180° - 55° - 65° = 60°
Verwendung des Sinussatzes: a/sin(55°) = 45/sin(60°)
a = 45 × sin(55°) / sin(60°) ≈ 42,57 m
Ebenso c ≈ 47,11 m
Die verwendete Formel ist:
(a ÷ 55°) = (45 ÷ 60°) a = ((45 × 55°) ÷ 60°)
sin55°a=sin60°45⇒a=sin60°45×sin55°
Beispiel 7: Rechtwinkliges Dreieck (Spezialfall)
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete von 12 cm und eine Hypotenuse von 20 cm. Finden Sie die andere Kathete und alle Winkel.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben: eine Kathete = 12 cm, Hypotenuse = 20 cm, ein Winkel = 90°.
Der Rechner liefert:
Andere Kathete = 16 cm, Winkel ≈ 36,87° und 53,13°
Solution Steps:
Gegeben: a = 12, c = 20, ∠C = 90°
Verwendung des Satzes des Pythagoras: b² = c² - a² = 400 - 144 = 256
b = 16 cm
∠A = arcsin(12/20) ≈ 36,87°
∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°
Die verwendete Formel ist:
b = √(c^2 - a^2) = √(400 - 144) = √(256) = 16
b=c2−a2=400−144=256=16
Beispiel 8: Navigation auf dem Zürichsee
Ein Segelboot fährt 12 km über den Zürichsee nach Osten, ändert dann den Kurs um 115° und fährt weitere 18 km. Wie weit ist es vom Ausgangspunkt entfernt?
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Entfernung vom Start bei den Seiten 12 km, 18 km und dem eingeschlossenen Winkel von 65° (180° - 115°).
Der Rechner liefert:
Entfernung ≈ 16,90 km
Solution Steps:
Der Winkel zwischen den Wegen = 180° - 115° = 65°
Verwendung des Kosinussatzes: d² = 12² + 18² - 2(12)(18)cos(65°)
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten von 15 cm und eine Basis von 14 cm. Finden Sie die Winkel und die Fläche.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben: zwei Seiten = 15 cm, Basis = 14 cm, finden Sie Winkel und Fläche.
Der Rechner liefert:
Basiswinkel ≈ 62,18°, Scheitelwinkel ≈ 55,64°, Fläche ≈ 92,89 cm²
Solution Steps:
Gegeben: a = c = 15, b = 14
Höhe vom Scheitel zur Basis: h = √(15² - 7²) = √176 ≈ 13,27
Fläche = (1/2) × Basis × Höhe = (1/2) × 14 × 13,27 ≈ 92,89 cm²
Verwendung des Kosinussatzes für die Winkel
Basiswinkel ≈ 62,18°, Scheitelwinkel ≈ 55,64°
Die verwendete Formel ist:
h = √(15^2 - 7^2) = √(225 - 49) = √(176) ≈ 13,27
h=152−72=225−49=176≈13,27
Beispiel 10: Bauparzelle in Genf
Eine Bauparzelle in Genf bildet ein Dreieck mit Eckpunkten im Abstand von 90 m, 110 m und 130 m voneinander. Berechnen Sie die Fläche für die Bauplanung.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Fläche des Dreiecks mit den Seiten 90 m, 110 m, 130 m.
Der Rechner liefert:
Fläche ≈ 4'880,77 m²
Solution Steps:
Gegeben: a = 90, b = 110, c = 130
Halbumfang: s = (90 + 110 + 130) / 2 = 165
Verwendung des Satzes des Heron: Fläche = √(165 × 75 × 55 × 35)
Fläche = √(23'821'875) ≈ 4'880,77 m²
Die verwendete Formel ist:
s = ((90+110+130) ÷ 2) = 165, Fläche = √(165(75)(55)(35))
s=290+110+130=165, Fla¨che=165(75)(55)(35)
Zusammenfassung
Diese Beispiele zeigen, wie unser Dreiecksrechner Folgendes bewältigen kann:
•Lösen von Dreiecken mit drei bekannten Seiten (SSS)
•Lösen von Dreiecken mit zwei Seiten und einem eingeschlossenen Winkel (SWS)
•Lösen von Dreiecken mit zwei Winkeln und einer Seite (WSW, WWS)
•Berechnung von Fläche, Umfang, Höhen und Seitenhalbierenden
Sie können jede reale Situation mit Dreiecken an eines dieser Muster anpassen und den Rechner die Arbeit für Sie erledigen lassen.