Quadratische Gleichungsrechner

Lösen Sie quadratische Gleichungen, berechnen Sie die Diskriminante, finden Sie den Scheitelpunkt und konvertieren Sie in faktorisierte Form mit unserem kostenlosen quadratischen Gleichungsrechner

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Was ist eine Quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung 2. Grades, normalerweise geschrieben als ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Koeffizienten sind und a ≠ 0. Quadratische Gleichungen sind grundlegend in der Algebra und treten in vielen realen Anwendungen auf, von der Physik bis zur Wirtschaft.

Quadratische Formel

Die quadratische Formel wird verwendet, um quadratische Gleichungen zu lösen:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminante

Die Diskriminante (Δ = b² - 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln: Wenn Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln; wenn Δ = 0, gibt es eine wiederholte reelle Wurzel; wenn Δ < 0, gibt es zwei komplexe Wurzeln.

Beispiele für Quadratische Berechnungen

Hier sind mehrere alltägliche Situationen, die zeigen, wie einfach es ist, unseren quadratischen Gleichungsrechner zu verwenden.

Beispiel 1: Lösen Sie x² - 5x + 6 = 0

Lösen Sie die quadratische Gleichung x² - 5x + 6 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was sind die Wurzeln von x² - 5x + 6 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Die verwendete Formel ist:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Beispiel 2: Diskriminantenanalyse

Berechnen Sie die Diskriminante von x² + 4x + 4 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die Diskriminante von x² + 4x + 4 = 0?

Der Rechner gibt zurück: Δ = 0 (eine wiederholte Wurzel)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Da Δ = 0 ist, gibt es eine wiederholte Wurzel

Die verwendete Formel ist:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Beispiel 3: Finden Sie den Scheitelpunkt

Finden Sie den Scheitelpunkt der Parabel y = x² - 4x + 3.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist der Scheitelpunkt von y = x² - 4x + 3?

Der Rechner gibt zurück: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Scheitelpunkt x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Scheitelpunkt y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Scheitelpunkt: (2, -1)

Die verwendete Formel ist:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Beispiel 4: Faktorisierte Form

Konvertieren Sie x² - 5x + 6 = 0 in faktorisierte Form.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die faktorisierte Form von x² - 5x + 6?

Der Rechner gibt zurück: (x - 2)(x - 3)

Wurzeln: x = 2, x = 3
Faktorisierte Form: (x - 2)(x - 3)

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Beispiel 5: Schweizer Sportprojektil

Ein Fussball wird in einem Spiel im Letzigrund Stadion in Zürich nach oben geschossen. Finden Sie heraus, wann er den Boden berührt, mit h = -5t² + 15t = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Wann berührt der Ball den Boden?

Der Rechner gibt zurück: t = 0, t = 3 Sekunden

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 oder t = 3 Sekunden

Die verwendete Formel ist:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Beispiel 6: Flächenproblem

Ein Rechteck hat die Länge x und die Breite (10 - x). Finden Sie x, wenn die Fläche 24 ist.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist x, wenn x(10 - x) = 24?

Der Rechner gibt zurück: x = 4 oder x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 oder x = 6

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Beispiel 7: Komplexe Wurzeln

Lösen Sie x² + 2x + 5 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was sind die Wurzeln von x² + 2x + 5 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Da Δ < 0 ist, sind die Wurzeln komplex
x = -1 ± 2i

Die verwendete Formel ist:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Beispiel 8: Maximaler Gewinn Schweizer Unternehmen

Ein Schweizer Unternehmen möchte den Preis finden, der den Gewinn maximiert: P = -2p² + 40p - 100, wobei p in Franken ist.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Welcher Preis in Fr. maximiert den Gewinn?

Der Rechner gibt zurück: p = 10 Fr.

Scheitelpunkt x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maximaler Gewinn bei p = 10 Fr.

Die verwendete Formel ist:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Beispiel 9: Perfektes Quadrat

Lösen Sie x² - 6x + 9 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die Wurzel von x² - 6x + 9 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = 3 (wiederholt)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (wiederholte Wurzel)

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Beispiel 10: Faktorisierung

Konvertieren Sie 2x² - 8x + 6 = 0 in faktorisierte Form.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die faktorisierte Form von 2x² - 8x + 6?

Der Rechner gibt zurück: 2(x - 1)(x - 3)

Wurzeln: x = 1, x = 3
Faktorisierte Form: 2(x - 1)(x - 3)

Die verwendete Formel ist:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Zusammenfassung

Diese Beispiele zeigen, wie unser quadratischer Gleichungsrechner folgendes handhaben kann:

  • •Lösung quadratischer Gleichungen (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Berechnung von Diskriminanten (Δ = b² - 4ac)
  • •Finden von Scheitelpunkten von Parabeln
  • •Konvertierung in faktorisierte Form

Sie können jede reale Situation, die quadratische Gleichungen beinhaltet, an eines dieser Muster anpassen und den Rechner die Arbeit für Sie erledigen lassen.

Wie zu Verwenden

  1. Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein.
  2. Wählen Sie den Berechnungstyp, den Sie benötigen (Lösung, Diskriminante, Scheitelpunkt oder faktorisierte Form).
  3. Sehen Sie sich das Ergebnis und die Schritt-für-Schritt-Erklärung der Berechnung an.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die quadratische Formel?

Die quadratische Formel ist x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, verwendet zur Lösung quadratischer Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0.

Was ist die Diskriminante?

Die Diskriminante (Δ = b² - 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln: Wenn Δ > 0, gibt es zwei reelle Wurzeln; wenn Δ = 0, eine wiederholte Wurzel; wenn Δ < 0, zwei komplexe Wurzeln.

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Veröffentlicht von Online Tools Center

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