Kalkulačka Trojúhelníku

Vyřešte jakýkoli trojúhelník pomocí metod SSS, SAS, ASA, AAS a SSA. Vypočítejte strany, úhly, obsah, obvod, výšky, těžnice a další.

Řešitel Trojúhelníku

Jednotka úhlu:

Co je to trojúhelník?

Trojúhelník je trojstranný mnohoúhelník se třemi vrcholy a třemi úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku se vždy rovná 180° (nebo π radiánů). Trojúhelníky lze klasifikovat podle jejich stran (rovnostranný, rovnoramenný, obecný) nebo podle jejich úhlů (ostrouhlý, pravoúhlý, tupouhlý). Naše kalkulačka trojúhelníku dokáže vyřešit jakýkoli trojúhelník, pokud zadáte alespoň tři údaje: tři strany (SSS), dvě strany a sevřený úhel (SAS), dva úhly a jednu stranu (ASA nebo AAS) nebo dvě strany a úhel (SSA - nejednoznačný případ).

Značení trojúhelníku

V naší kalkulačce trojúhelníků používáme standardní značení, kde strany a úhly spolu souvisejí následovně:

Strana a leží naproti úhlu A (α)
Strana b leží naproti úhlu B (β)
Strana c leží naproti úhlu C (γ)

Součet úhlů A + B + C je vždy 180° (nebo π radiánů).

📏 Těžnice trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protilehlé strany. Každý trojúhelník má tři těžnice, které se protínají v jediném bodě zvaném těžiště.

Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2:1, přičemž delší část je u vrcholu.

⭕ Poloměr vepsané kružnice (Inradius)

Poloměr r je poloměrem vepsané kružnice (incircle), což je největší kružnice, která se vejde dovnitř trojúhelníku.

Střed vepsané kružnice je průsečíkem os vnitřních úhlů.

🔵 Poloměr opsané kružnice (Circumradius)

Poloměr R je poloměrem opsané kružnice (circumcircle), která prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku.

Střed opsané kružnice je průsečíkem os stran trojúhelníku.

💡 Zajímavá fakta o trojúhelnících

• Součet délek kterýchkoli dvou stran trojúhelníku musí být větší než délka strany třetí (trojúhelníková nerovnost).
• Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180 stupňů.
• Nejdelší strana leží vždy naproti největšímu úhlu a nejkratší strana naproti nejmenšímu úhlu.
• Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu dvou protilehlých vnitřních úhlů.
• Těžiště (průsečík těžnic) je gravitačním středem trojúhelníku.
• V pravoúhlém trojúhelníku je střed přepony středem kružnice opsané.

Sinová věta

Sinová věta praví, že poměr délky strany trojúhelníku k sinu protilehlého úhlu je konstantní pro všechny tři strany a úhly. Tato věta je užitečná zejména pro řešení trojúhelníků, kde znáte dva úhly a jednu stranu (ASA nebo AAS) nebo dvě strany a úhel (SSA).

Kosinová věta

Kosinová věta dává do vztahu délky stran trojúhelníku s kosinem jednoho z jeho úhlů. Je užitečná pro řešení trojúhelníků, kde znáte tři strany (SSS) nebo dvě strany a sevřený úhel (SAS). Tato věta je zobecněním Pythagorovy věty.

Vzorec pro obsah trojúhelníku (Heronův vzorec)

Heronův vzorec vám umožňuje vypočítat obsah trojúhelníku, pokud znáte všechny tři strany. Nejprve vypočítejte poloperimetr s = (a + b + c)/2, poté použijte níže uvedený vzorec. Toto je jeden z nejelegantnějších vzorců v geometrii.

Příklady výpočtu trojúhelníku

Příklad 1: Rovnostranný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany rovny 4 metrům. Najděte všechny úhly a obsah.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Jaké jsou úhly a obsah rovnostranného trojúhelníku se stranami 4 metry?

Kalkulačka vrátí:

Všechny úhly jsou 60° (π/3 radiánů), Obsah = 6,928 m²

Solution Steps:

Dáno: Všechny strany a = b = c = 4 metry

V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly stejné

Každý úhel = 180° / 3 = 60° = π/3 radiánů

S použitím vzorce pro obsah: Obsah = (√3/4) × 4² = 6,928 m²

Použitý vzorec je:

Příklad 2: SSS - Tři známé strany

Trojúhelník má strany 6 cm, 8 cm a 10 cm. Najděte všechny úhly a obsah.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Vyřešte trojúhelník se stranami a = 6, b = 8, c = 10.

Kalkulačka vrátí:

∠A = 36,87°, ∠B = 53,13°, ∠C = 90,00°, Obsah = 24,00 cm²

Solution Steps:

Dáno: a = 6, b = 8, c = 10

Užitím kosinové věty: cos C = (6² + 8² - 10²) / (2×6×8) = 0

C = arccos(0) = 90,00° (Jedná se o pravoúhlý trojúhelník)

Podobně najděte A ≈ 36,87° a B ≈ 53,13°

Obsah pomocí Heronova vzorce (nebo 1/2*a*b) = 24,00 cm²

Použitý vzorec je:

Příklad 3: SAS - Dvě strany a sevřený úhel

Zeměměřič změřil dvě strany trojúhelníkového pozemku jako 40 m a 50 m se sevřeným úhlem 45°. Najděte třetí stranu.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Dané strany a = 40 m, b = 50 m a úhel C = 45°, najděte stranu c.

Kalkulačka vrátí:

c ≈ 35,76 metru

Solution Steps:

Dáno: a = 40, b = 50, C = 45°

Užitím kosinové věty: c² = 40² + 50² - 2(40)(50)cos(45°)

c² = 1600 + 2500 - 4000(0,7071) = 4100 - 2828,4 = 1271,6

c = √1271,6 ≈ 35,66 metru

Použitý vzorec je:

Příklad 4: Výpočet výšky hory

Z bodu vzdáleného 700 metrů od paty hory je úhel elevace k vrcholu 30°. Pokud je pozorovatel v úrovni terénu, jak vysoká je hora?

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Najděte výšku při vodorovné vzdálenosti = 700 m a úhlu = 30°.

Kalkulačka vrátí:

Výška ≈ 404,1 metru

Solution Steps:

Dáno: vodorovná vzdálenost = 700 m, úhel elevace = 30°

Užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku: tan(30°) = výška / 700

výška = 700 × tan(30°) ≈ 700 × 0,5773

výška ≈ 404,1 metru

Použitý vzorec je:

Příklad 5: Konstrukce střešního vazníku

Střešní vazník má vodorovný trám dlouhý 12 metrů. Oba šikmé trámy se setkávají ve vrcholu 4 metry nad středem. Najděte délku každého šikmého trámu.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Najděte délku šikmého trámu při základně = 6 m (polovina z 12) a výšce = 4 m.

Kalkulačka vrátí:

Každý šikmý trám ≈ 7,21 metru

Solution Steps:

Polovina základny = 12/2 = 6 metrů

Výška = 4 metry

Užitím Pythagorovy věty: s² = 6² + 4²

s² = 36 + 16 = 52

s = √52 ≈ 7,21 metru

Použitý vzorec je:

Příklad 6: ASA - Dva úhly a sevřená strana

Při vyměřování jsou dva úhly trojúhelníkového pozemku 60° a 45° a strana mezi nimi měří 50 metrů. Najděte zbývající dvě strany.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Dané úhly ∠A = 60°, ∠C = 45°, b = 50 m, najděte strany a a c.

Kalkulačka vrátí:

a ≈ 44,83 m, c ≈ 36,60 m

Solution Steps:

Dáno: ∠A = 60°, ∠C = 45°, b = 50 m

Najděte ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°

Užitím sinové věty: a/sin(60°) = 50/sin(75°)

a = 50 × sin(60°) / sin(75°) ≈ 44,83 m

Podobně c ≈ 36,60 m

Použitý vzorec je:

Příklad 7: Pravoúhlý trojúhelník (Speciální případ)

Pravoúhlý trojúhelník má jednu odvěsnu 9 cm a přeponu 15 cm. Najděte druhou odvěsnu a všechny úhly.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Dáno: jedna odvěsna = 9 cm, přepona = 15 cm, jeden úhel = 90°.

Kalkulačka vrátí:

Druhá odvěsna = 12 cm, úhly ≈ 36,87° a 53,13°

Solution Steps:

Dáno: a = 9, c = 15, ∠C = 90°

Užitím Pythagorovy věty: b² = c² - a² = 225 - 81 = 144

b = 12 cm

∠A = arcsin(9/15) ≈ 36,87°

∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°

Použitý vzorec je:

Příklad 8: Jachtařská navigace

Plachetnice upluje 12 námořních mil na východ, poté změní kurz o 110° a upluje 16 námořních mil. Jak daleko je od výchozího bodu?

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Najděte vzdálenost od startu při stranách 12, 16 a sevřeném úhlu 70° (180° - 110°).

Kalkulačka vrátí:

Vzdálenost ≈ 17,29 námořních mil

Solution Steps:

Úhel mezi drahami = 180° - 110° = 70°

Užitím kosinové věty: d² = 12² + 16² - 2(12)(16)cos(70°)

d² = 144 + 256 - 384(0,3420) = 400 - 131,3 = 268,7

d = √268,7 ≈ 16,39 námořních mil

Použitý vzorec je:

Příklad 9: Rovnoramenný trojúhelník

Rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany o délce 15 cm a základnu 12 cm. Najděte úhly a obsah.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Dáno: dvě strany = 15 cm, základna = 12 cm, najděte úhly a obsah.

Kalkulačka vrátí:

Úhly při základně ≈ 66,42°, vrcholový úhel ≈ 47,16°, Obsah = 82,49 cm²

Solution Steps:

Dáno: a = c = 15, b = 12

Výška z vrcholu k základně: h = √(15² - 6²) = √189 ≈ 13,75

Obsah = (1/2) × základna × výška = (1/2) × 12 × 13,75 = 82,50 cm²

Užitím kosinové věty pro úhly

Úhly při základně ≈ 66,42°, vrcholový úhel ≈ 47,16°

Použitý vzorec je:

Příklad 10: Trojúhelník na staveništi

Staveniště tvoří trojúhelník s rohy ve vzdálenostech 70 m, 80 m a 90 m od sebe. Vypočítejte obsah pro plánování výkopů.

Naši kalkulačku můžete použít zadáním:

Najděte obsah trojúhelníku se stranami 70 m, 80 m, 90 m.

Kalkulačka vrátí:

Obsah ≈ 2683,28 m²

Solution Steps:

Dáno: a = 70, b = 80, c = 90

Poloperimetr: s = (70 + 80 + 90) / 2 = 120

Užitím Heronova vzorce: Obsah = √(120 × 50 × 40 × 30)

Obsah = √(7 200 000) ≈ 2683,28 m²

Použitý vzorec je:

Shrnutí

Tyto příklady ukazují, jak si naše kalkulačka trojúhelníků poradí s:

•Řešením trojúhelníků se třemi známými stranami (SSS)
•Řešením trojúhelníků se dvěma stranami a sevřeným úhlem (SAS)
•Řešením trojúhelníků se dvěma úhly a stranou (ASA, AAS)
•Výpočtem obsahu, obvodu, výšek a těžnic

Jakoukoli reálnou situaci zahrnující trojúhelníky můžete přizpůsobit jednomu z těchto vzorů a nechat kalkulačku, aby práci udělala za vás.

Ohodnoťte Tuto Kalkulačku

Jak používat

Zadejte alespoň 3 hodnoty (strany nebo úhly) do vstupních polí kolem diagramu trojúhelníku.
Z rozbalovací nabídky vyberte preferovanou jednotku úhlu (stupně nebo radiány).
Kliknutím na Vypočítat vyřešíte trojúhelník and zobrazíte všechna měření, obsah, obvod a další.

Často kladené otázky

Jaké metody může tato kalkulačka použít k řešení trojúhelníků?

Tato kalkulačka dokáže řešit trojúhelníky pomocí metod SSS (tři strany), SUS (dvě strany a úhel mezi nimi), USU (dva úhly a strana mezi nimi), UUS (dva úhly a strana) a SSU (dvě strany a úhel ne ležící mezi nimi).

Jaký je rozdíl mezi stupni a radiány?

Stupně a radiány jsou dva způsoby měření úhlů. Plný kruh je 360° nebo 2π radiánů. Pro převod: stupně = radiány × (180/π), radiány = stupně × (π/180).

O tomto nástroji

Publikoval Online Tools Center

Poslední aktualizace: 30. září 2026

Před použitím výsledku ověřte jednotky, předpoklady a zaokrouhlení. Zdravotní a finanční odhady slouží ke vzdělávání a nenahrazují individuální odborné poradenství.

Našli jste chybu? Pošlete název nástroje, zadané údaje a očekávaný i skutečný výsledek, abychom mohli chybu prověřit.

Nahlásit problém

Co je to trojúhelník?

Značení trojúhelníku

V naší kalkulačce trojúhelníků používáme standardní značení, kde strany a úhly spolu souvisejí následovně:

Strana a leží naproti úhlu A (α)
Strana b leží naproti úhlu B (β)
Strana c leží naproti úhlu C (γ)

Součet úhlů A + B + C je vždy 180° (nebo π radiánů).

📏 Těžnice trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protilehlé strany. Každý trojúhelník má tři těžnice, které se protínají v jediném bodě zvaném těžiště.

Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2:1, přičemž delší část je u vrcholu.

⭕ Poloměr vepsané kružnice (Inradius)

Poloměr r je poloměrem vepsané kružnice (incircle), což je největší kružnice, která se vejde dovnitř trojúhelníku.

Střed vepsané kružnice je průsečíkem os vnitřních úhlů.

🔵 Poloměr opsané kružnice (Circumradius)

Poloměr R je poloměrem opsané kružnice (circumcircle), která prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku.

Střed opsané kružnice je průsečíkem os stran trojúhelníku.

💡 Zajímavá fakta o trojúhelnících

• Součet délek kterýchkoli dvou stran trojúhelníku musí být větší než délka strany třetí (trojúhelníková nerovnost).
• Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180 stupňů.
• Nejdelší strana leží vždy naproti největšímu úhlu a nejkratší strana naproti nejmenšímu úhlu.
• Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu dvou protilehlých vnitřních úhlů.
• Těžiště (průsečík těžnic) je gravitačním středem trojúhelníku.
• V pravoúhlém trojúhelníku je střed přepony středem kružnice opsané.

Kalkulačka Trojúhelníku

Řešitel Trojúhelníku

Co je to trojúhelník?

Značení trojúhelníku

📏 Těžnice trojúhelníku

⭕ Poloměr vepsané kružnice (Inradius)

🔵 Poloměr opsané kružnice (Circumradius)

💡 Zajímavá fakta o trojúhelnících

Sinová věta

Kosinová věta

Vzorec pro obsah trojúhelníku (Heronův vzorec)

Příklady výpočtu trojúhelníku

Příklad 1: Rovnostranný trojúhelník

Příklad 2: SSS - Tři známé strany

Příklad 3: SAS - Dvě strany a sevřený úhel

Příklad 4: Výpočet výšky hory

Příklad 5: Konstrukce střešního vazníku

Příklad 6: ASA - Dva úhly a sevřená strana

Příklad 7: Pravoúhlý trojúhelník (Speciální případ)

Příklad 8: Jachtařská navigace

Příklad 9: Rovnoramenný trojúhelník

Příklad 10: Trojúhelník na staveništi

Shrnutí

Ohodnoťte Tuto Kalkulačku

Jak používat

Často kladené otázky

Související nástroje

O tomto nástroji

Kalkulačka Trojúhelníku

Řešitel Trojúhelníku

Co je to trojúhelník?

Značení trojúhelníku

📏 Těžnice trojúhelníku

⭕ Poloměr vepsané kružnice (Inradius)

🔵 Poloměr opsané kružnice (Circumradius)

💡 Zajímavá fakta o trojúhelnících

Sinová věta

Kosinová věta

Vzorec pro obsah trojúhelníku (Heronův vzorec)

Příklady výpočtu trojúhelníku

Příklad 1: Rovnostranný trojúhelník

Příklad 2: SSS - Tři známé strany

Příklad 3: SAS - Dvě strany a sevřený úhel

Příklad 4: Výpočet výšky hory

Příklad 5: Konstrukce střešního vazníku

Příklad 6: ASA - Dva úhly a sevřená strana

Příklad 7: Pravoúhlý trojúhelník (Speciální případ)

Příklad 8: Jachtařská navigace

Příklad 9: Rovnoramenný trojúhelník

Příklad 10: Trojúhelník na staveništi

Shrnutí

Ohodnoťte Tuto Kalkulačku