Kvadratisk Ligningsberegner

Løs kvadratiske ligninger, beregn diskriminanten, find toppunktet og konverter til faktoriseret form med vores gratis kvadratiske ligningsberegner

Tilgængelige Lommeregnere

Hvad er en Kvadratisk Ligning?

En kvadratisk ligning er en polynomiel ligning af grad 2, typisk skrevet som ax² + bx + c = 0, hvor a, b og c er koefficienter og a ≠ 0. Kvadratiske ligninger er fundamentale i algebra og optræder i mange virkelige applikationer, fra fysik til økonomi.

Kvadratisk Formel

Den kvadratiske formel bruges til at løse kvadratiske ligninger:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminant

Diskriminanten (Δ = b² - 4ac) bestemmer røddernes natur: hvis Δ > 0, er der to forskellige reelle rødder; hvis Δ = 0, er der én gentagen reel rod; hvis Δ < 0, er der to komplekse rødder.

Eksempler på Kvadratiske Beregninger

Her er flere hverdags situationer, der viser, hvor nemt det er at bruge vores kvadratiske ligningsberegner.

Eksempel 1: Løs x² - 5x + 6 = 0

Løs den kvadratiske ligning x² - 5x + 6 = 0.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er rødderne for x² - 5x + 6 = 0?

Beregneren returnerer: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Den anvendte formel er:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Eksempel 2: Diskriminantanalyse

Beregn diskriminanten for x² + 4x + 4 = 0.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er diskriminanten for x² + 4x + 4 = 0?

Beregneren returnerer: Δ = 0 (én gentagen rod)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Da Δ = 0, er der én gentagen rod

Den anvendte formel er:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Eksempel 3: Find Toppunktet

Find toppunktet for parablen y = x² - 4x + 3.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er toppunktet for y = x² - 4x + 3?

Beregneren returnerer: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Toppunkt x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Toppunkt y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Toppunkt: (2, -1)

Den anvendte formel er:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Eksempel 4: Faktoriseret Form

Konverter x² - 5x + 6 = 0 til faktoriseret form.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er den faktoriserede form for x² - 5x + 6?

Beregneren returnerer: (x - 2)(x - 3)

Rødder: x = 2, x = 3
Faktoriseret form: (x - 2)(x - 3)

Den anvendte formel er:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Eksempel 5: Dansk Sportsprojektil

En fodbold sparkes opad i en kamp på Parken Stadion i København. Find, hvornår den rammer jorden ved hjælp af h = -5t² + 15t = 0.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvornår rammer bolden jorden?

Beregneren returnerer: t = 0, t = 3 sekunder

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 eller t = 3 sekunder

Den anvendte formel er:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Eksempel 6: Arealproblem

Et rektangel har længde x og bredde (10 - x). Find x, når arealet er 24.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er x, når x(10 - x) = 24?

Beregneren returnerer: x = 4 eller x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 eller x = 6

Den anvendte formel er:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Eksempel 7: Komplekse Rødder

Løs x² + 2x + 5 = 0.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er rødderne for x² + 2x + 5 = 0?

Beregneren returnerer: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Da Δ < 0, er rødderne komplekse
x = -1 ± 2i

Den anvendte formel er:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Eksempel 8: Maksimal Profit Dansk Virksomhed

En dansk virksomhed ønsker at finde prisen, der maksimerer profit: P = -2p² + 40p - 100, hvor p er i kroner.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvilken pris i kr maksimerer profit?

Beregneren returnerer: p = 10 kr

Toppunkt x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maksimal profit ved p = 10 kr

Den anvendte formel er:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Eksempel 9: Perfekt Kvadrat

Løs x² - 6x + 9 = 0.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er roden for x² - 6x + 9 = 0?

Beregneren returnerer: x = 3 (gentagen)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (gentagen rod)

Den anvendte formel er:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Eksempel 10: Faktorisering

Konverter 2x² - 8x + 6 = 0 til faktoriseret form.

Du kan bruge vores beregner ved at indtaste:

Hvad er den faktoriserede form for 2x² - 8x + 6?

Beregneren returnerer: 2(x - 1)(x - 3)

Rødder: x = 1, x = 3
Faktoriseret form: 2(x - 1)(x - 3)

Den anvendte formel er:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Resumé

Disse eksempler viser, hvordan vores kvadratiske ligningsberegner kan håndtere:

  • •Løsning af kvadratiske ligninger (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Beregning af diskriminanter (Δ = b² - 4ac)
  • •Finde toppunkter for parabler
  • •Konvertering til faktoriseret form

Du kan tilpasse enhver virkelig situation, der involverer kvadratiske ligninger, til et af disse mønstre og lade beregneren gøre arbejdet for dig.

Sådan Bruges

  1. Indtast koefficienterne a, b og c for den kvadratiske ligning ax² + bx + c = 0.
  2. Vælg den type beregning, du har brug for (løs, diskriminant, toppunkt eller faktoriseret form).
  3. Se resultatet og trin-for-trin forklaring af beregningen.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er den kvadratiske formel?

Den kvadratiske formel er x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, bruges til at løse kvadratiske ligninger af formen ax² + bx + c = 0.

Hvad er diskriminanten?

Diskriminanten (Δ = b² - 4ac) bestemmer røddernes natur: hvis Δ > 0, er der to reelle rødder; hvis Δ = 0, én gentagen rod; hvis Δ < 0, to komplekse rødder.

Relaterede værktøjer

Om værktøjet

Udgivet af Online Tools Center

Senest opdateret:

Kontrollér enheder, antagelser og afrunding, før du bruger et resultat. Sundheds- og økonomiske estimater er til oplysning og erstatter ikke individuel professionel rådgivning.

Har du fundet en fejl? Send værktøjets navn, dine indtastninger samt det forventede og faktiske resultat, så vi kan undersøge det.

Rapportér et problem