Geben Sie mindestens 3 Werte (Seiten oder Winkel) in die Eingabefelder um das Dreiecksdiagramm herum ein.
Wählen Sie Ihre bevorzugte Winkeleinheit (Grad oder Bogenmaß) aus dem Dropdown-Menü.
Klicken Sie auf Berechnen, um das Dreieck zu lösen und alle Maße, Fläche, Umfang und mehr anzuzeigen.
Häufig gestellte Fragen
Welche Methoden kann dieser Rechner zum Lösen von Dreiecken verwenden?
Dieser Rechner kann Dreiecke mit den Methoden SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel), WSW (zwei Winkel und eine Seite), WWS (zwei Winkel und eine Seite) und SSW (zwei Seiten und nicht eingeschlossener Winkel) lösen.
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Bogenmaß (Radiant)?
Grad und Bogenmaß sind zwei Arten, Winkel zu messen. Ein Vollkreis entspricht 360° oder 2π Radiant. Zur Umrechnung: Grad = Radiant × (180/π), Radiant = Grad × (π/180).
Prüfen Sie Einheiten, Annahmen und Rundungen, bevor Sie ein Ergebnis verwenden. Gesundheits- und Finanzschätzungen dienen der Information und ersetzen keine individuelle fachliche Beratung.
Einen Fehler gefunden? Senden Sie uns den Toolnamen, die Eingaben sowie das erwartete und tatsächliche Ergebnis, damit wir den Fehler untersuchen können.
Lösen Sie jedes Dreieck mit SSS, SWS, WSW, WWS und SSW Methoden. Berechnen Sie Seiten, Winkel, Fläche, Umfang, Höhen, Seitenhalbierende und mehr.
Dreieckslöser
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Was ist un Dreieck?
Ein Dreieck ist ein dreiseitiges Polygon mit drei Eckpunkten und drei Winkeln. Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180° (oder π Radiant). Dreiecke können nach ihren Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, unregelmäßig) oder nach ihren Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) klassifiziert werden. Unser Dreiecksrechner kann jedes Dreieck lösen, wenn Sie mindestens drei Maße angeben: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS), zwei Winkel und eine Seite (WSW oder WWS) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSW - mehrdeutiger Fall).
Dreiecksnotation
In unserem Dreiecksrechner verwenden wir die Standardnotation, bei der Seiten und Winkel wie folgt in Beziehung stehen:
Die Seite a liegt gegenüber dem Winkel A (α)
Die Seite b liegt gegenüber dem Winkel B (β)
Die Seite c liegt gegenüber dem Winkel C (γ)
Die Summe der Winkel A + B + C ist immer 180° (oder π Radiant).
📏 Seitenhalbierende des Dreiecks
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende, die sich in einem einzigen Punkt schneiden, dem Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, wobei das längere Teilstück am Eckpunkt liegt.
⭕ Inkreisradius (Inradius)
Der Inkreisradius (r) ist der Radius des Inkreises, des größten Kreises, der in das Dreieck passt.
r = (Fläche ÷ s) (wobei s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sFla¨che(wobei s=2a+b+c)
Der Mittelpunkt des Inkreises wird Inkreismittelpunkt genannt; hier treffen sich die Winkelhalbierenden.
🔵 Umkreisradius (Circumradius)
Der Umkreisradius (R) ist der Radius des Umkreises, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft.
R = (abc ÷ (4 × Fläche))
R=4×Fla¨cheabc
Der Mittelpunkt des Umkreises wird Umkreismittelpunkt genannt; hier treffen sich die Mittelsenkrechten der Seiten.
💡 Interessante Fakten über Dreiecke
• Die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten eines Dreiecks muss größer sein als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).
• Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
• Die größte Seite liegt immer dem größten Winkel gegenüber, und die kleinste Seite dem kleinsten Winkel.
• Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
• Der Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
• In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Umkreismittelpunkt.
Sinussatz
Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge einer Seite eines Dreiecks und dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten und Winkel konstant ist. Dieses Gesetz ist besonders nützlich für das Lösen von Dreiecken, wenn Sie zwei Winkel und eine Seite (WSW oder WWS) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSW) kennen.
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Kosinussatz
Der Kosinussatz setzt die Längen der Seiten eines Dreiecks in Beziehung zum Kosinus eines seiner Winkel. Er ist nützlich für das Lösen von Dreiecken, wenn Sie drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) kennen. Dieses Gesetz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Dreiecksflächenformel (Satz des Heron)
Der Satz des Heron ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, wenn Sie alle drei Seiten kennen. Berechnen Sie zuerst den Halbumfang s = (a + b + c)/2, und verwenden Sie dann die unten stehende Formel. Dies ist eine der elegantesten Formeln in der Geometrie.
Fläche = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) wobei s = ((a+b+c) ÷ 2)
Fla¨che=s(s−a)(s−b)(s−c) wobei s=2a+b+c
Beispiele für Dreiecksberechnungen
Beispiel 1: Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten von 4 Metern. Finden Sie alle Winkel und die Fläche.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Was sind die Winkel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seiten von 4 Metern?
Der Rechner liefert:
Alle Winkel betragen 60° (π/3 Radiant), Fläche = 6,928 m²
Solution Steps:
Gegeben: Alle Seiten a = b = c = 4 Meter
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich
Jeder Winkel = 180° / 3 = 60° = π/3 Radiant
Verwendung der Flächenformel: Fläche = (√3/4) × 4² = 6,928 m²
Die verwendete Formel ist:
Fläche = (√(3) ÷ 4)a^2 = (√(3) ÷ 4)(4)^2 ≈ 6,928
Fla¨che=43a2=43(4)2≈6,928
Beispiel 2: SSS - Drei bekannte Seiten
Ein Dreieck hat Seiten von 9 cm, 10 cm und 11 cm. Finden Sie alle Winkel und die Fläche.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Lösen Sie ein Dreieck mit den Seiten a = 9, b = 10, c = 11.
Von einem Punkt, der 450 Meter vom Fuß eines Berges entfernt ist, beträgt der Neigungswinkel zum Gipfel 40°. Wenn sich der Beobachter auf Bodenhöhe befindet, wie hoch ist der Berg?
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Höhe bei einer horizontalen Entfernung von 450 m und einem Winkel von 40°.
Der Rechner liefert:
Höhe ≈ 377,6 Meter
Solution Steps:
Gegeben: horizontale Entfernung = 450 m, Neigungswinkel = 40°
Verwendung der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: tan(40°) = Höhe / 450
Höhe = 450 × tan(40°) ≈ 450 × 0,8391
Höhe ≈ 377,6 Meter
Die verwendete Formel ist:
h = 450 × (40°) ≈ 450 × 0,8391 ≈ 377,6
h=450×tan(40°)≈450×0,8391≈377,6
Beispiel 5: Konstruktion eines Dachstuhls
Ein Dachstuhl hat einen horizontalen Balken von 12 Metern. Die beiden geneigten Balken treffen sich in einer Spitze 5 Meter über der Mitte. Finden Sie die Länge jedes geneigten Balkens.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Länge des geneigten Balkens bei einer Basis = 6 m (Hälfte von 12) und einer Höhe = 5 m.
Der Rechner liefert:
Jeder geneigte Balken = 13 Meter
Solution Steps:
Hälfte der Basis = 12/2 = 6 Meter
Höhe = 5 Meter
Verwendung des Satzes des Pythagoras: s² = 6² + 5²
s² = 36 + 25 = 61
s = √61 ≈ 7,81 Meter
Die verwendete Formel ist:
s = √(6^2 + 5^2) = √(36 + 25) = √(61) ≈ 7,81
s=62+52=36+25=61≈7,81
Beispiel 6: WSW - Zwei Winkel und eingeschlossene Seite
Bei der Vermessung sind zwei Winkel eines dreieckigen Grundstücks 55° und 65°, und die Seite dazwischen ist 45 Meter lang. Finden Sie die anderen beiden Seiten.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben sind ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 45 m, finden Sie die Seiten a und c.
Der Rechner liefert:
a ≈ 42,00 m, c ≈ 47,06 m
Solution Steps:
Gegeben: ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 45 m
Winkel ∠B finden = 180° - 55° - 65° = 60°
Verwendung des Sinussatzes: a/sin(55°) = 45/sin(60°)
a = 45 × sin(55°) / sin(60°) ≈ 42,57 m
Ebenso c ≈ 47,11 m
Die verwendete Formel ist:
(a ÷ 55°) = (45 ÷ 60°) a = ((45 × 55°) ÷ 60°)
sin55°a=sin60°45⇒a=sin60°45×sin55°
Beispiel 7: Rechtwinkliges Dreieck (Spezialfall)
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete von 12 cm und eine Hypotenuse von 20 cm. Finden Sie die andere Kathete und alle Winkel.
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Gegeben: eine Kathete = 12 cm, Hypotenuse = 20 cm, ein Winkel = 90°.
Der Rechner liefert:
Andere Kathete = 16 cm, Winkel ≈ 36,87° und 53,13°
Solution Steps:
Gegeben: a = 12, c = 20, ∠C = 90°
Verwendung des Satzes des Pythagoras: b² = c² - a² = 400 - 144 = 256
b = 16 cm
∠A = arcsin(12/20) ≈ 36,87°
∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°
Die verwendete Formel ist:
b = √(c^2 - a^2) = √(400 - 144) = √(256) = 16
b=c2−a2=400−144=256=16
Beispiel 8: Schiffsnavigation
Ein Segelboot fährt 12 Seemeilen nach Osten, ändert dann den Kurs um 115° und fährt 18 Seemeilen. Wie weit ist es vom Ausgangspunkt entfernt?
Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie Folgendes eingeben:
Finden Sie die Entfernung vom Start bei den Seiten 12, 18 und dem eingeschlossenen Winkel von 65° (180° - 115°).
Der Rechner liefert:
Entfernung ≈ 16,98 Seemeilen
Solution Steps:
Der Winkel zwischen den Wegen = 180° - 115° = 65°
Verwendung des Kosinussatzes: d² = 12² + 18² - 2(12)(18)cos(65°)