Quadratischer Gleichungsrechner

Lösen Sie quadratische Gleichungen, berechnen Sie die Diskriminante, finden Sie den Scheitelpunkt und konvertieren Sie in faktorisierte Form mit unserem kostenlosen quadratischen Gleichungsrechner

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Was ist eine Quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades, typischerweise geschrieben als ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Koeffizienten sind und a ≠ 0. Quadratische Gleichungen sind grundlegend in der Algebra und erscheinen in vielen realen Anwendungen, von der Physik bis zur Wirtschaft.

Quadratische Formel

Die quadratische Formel wird verwendet, um quadratische Gleichungen zu lösen:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminante

Die Diskriminante (Δ = b² - 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln: wenn Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln; wenn Δ = 0, gibt es eine wiederholte reelle Wurzel; wenn Δ < 0, gibt es zwei komplexe Wurzeln.

Beispiele für Quadratische Berechnungen

Hier sind mehrere alltägliche Situationen, die zeigen, wie einfach es ist, unseren quadratischen Gleichungsrechner zu verwenden.

Beispiel 1: Lösen Sie x² - 5x + 6 = 0

Lösen Sie die quadratische Gleichung x² - 5x + 6 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was sind die Wurzeln von x² - 5x + 6 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Die verwendete Formel ist:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Beispiel 2: Diskriminantenanalyse

Berechnen Sie die Diskriminante von x² + 4x + 4 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die Diskriminante von x² + 4x + 4 = 0?

Der Rechner gibt zurück: Δ = 0 (eine wiederholte Wurzel)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Da Δ = 0, gibt es eine wiederholte Wurzel

Die verwendete Formel ist:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Beispiel 3: Scheitelpunkt Finden

Finden Sie den Scheitelpunkt der Parabel y = x² - 4x + 3.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist der Scheitelpunkt von y = x² - 4x + 3?

Der Rechner gibt zurück: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Scheitelpunkt x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Scheitelpunkt y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Scheitelpunkt: (2, -1)

Die verwendete Formel ist:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Beispiel 4: Faktorisierte Form

Konvertieren Sie x² - 5x + 6 = 0 in faktorisierte Form.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die faktorisierte Form von x² - 5x + 6?

Der Rechner gibt zurück: (x - 2)(x - 3)

Wurzeln: x = 2, x = 3
Faktorisierte Form: (x - 2)(x - 3)

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Beispiel 5: Deutscher Sportprojektil

Ein Fußball wird bei einem Spiel im Olympiastadion Berlin nach oben geschossen. Finden Sie, wann er den Boden berührt, mit h = -5t² + 15t = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Wann berührt der Ball den Boden?

Der Rechner gibt zurück: t = 0, t = 3 Sekunden

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 oder t = 3 Sekunden

Die verwendete Formel ist:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Beispiel 6: Flächenproblem

Ein Rechteck hat Länge x und Breite (10 - x). Finden Sie x, wenn die Fläche 24 ist.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist x, wenn x(10 - x) = 24?

Der Rechner gibt zurück: x = 4 oder x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 oder x = 6

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Beispiel 7: Komplexe Wurzeln

Lösen Sie x² + 2x + 5 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was sind die Wurzeln von x² + 2x + 5 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Da Δ < 0, sind die Wurzeln komplex
x = -1 ± 2i

Die verwendete Formel ist:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Beispiel 8: Maximaler Gewinn Deutscher Betrieb

Ein deutscher Betrieb möchte den Preis finden, der den Gewinn maximiert: P = -2p² + 40p - 100, wobei p in Euro ist.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Welcher Preis in € maximiert den Gewinn?

Der Rechner gibt zurück: p = 10 €

Scheitelpunkt x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maximaler Gewinn bei p = 10 €

Die verwendete Formel ist:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Beispiel 9: Perfektes Quadrat

Lösen Sie x² - 6x + 9 = 0.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die Wurzel von x² - 6x + 9 = 0?

Der Rechner gibt zurück: x = 3 (wiederholt)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (wiederholte Wurzel)

Die verwendete Formel ist:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Beispiel 10: Faktorisierung

Konvertieren Sie 2x² - 8x + 6 = 0 in faktorisierte Form.

Sie können unseren Rechner verwenden, indem Sie eingeben:

Was ist die faktorisierte Form von 2x² - 8x + 6?

Der Rechner gibt zurück: 2(x - 1)(x - 3)

Wurzeln: x = 1, x = 3
Faktorisierte Form: 2(x - 1)(x - 3)

Die verwendete Formel ist:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Zusammenfassung

Diese Beispiele zeigen, wie unser quadratischer Gleichungsrechner folgendes handhaben kann:

  • •Lösen quadratischer Gleichungen (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Berechnen von Diskriminanten (Δ = b² - 4ac)
  • •Finden von Scheitelpunkten von Parabeln
  • •Konvertieren in faktorisierte Form

Sie können jede reale Situation, die quadratische Gleichungen beinhaltet, an eines dieser Muster anpassen und den Rechner die Arbeit für Sie erledigen lassen.

So Verwenden Sie

  1. Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein.
  2. Wählen Sie den Typ der Berechnung, den Sie benötigen (lösen, Diskriminante, Scheitelpunkt oder faktorisierte Form).
  3. Zeigen Sie das Ergebnis und die schrittweise Berechnungsaufschlüsselung an.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die quadratische Formel?

Die quadratische Formel ist x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, verwendet, um quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen.

Was ist die Diskriminante?

Die Diskriminante (Δ = b² - 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln: wenn Δ > 0, gibt es zwei reelle Wurzeln; wenn Δ = 0, eine wiederholte Wurzel; wenn Δ < 0, zwei komplexe Wurzeln.

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Veröffentlicht von Online Tools Center

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