Εισαγάγετε τουλάχιστον 3 τιμές (πλευρές ή γωνίες) στα πλαίσια εισαγωγής γύρω από το διάγραμμα του τριγώνου.
Επιλέξτε την προτιμώμενη μονάδα γωνίας (μοίρες ή ακτίνια) από το αναπτυσσόμενο μενού.
Κάντε κλικ στο Υπολογισμός για να λύσετε το τρίγωνο και να δείτε όλες τις μετρήσεις, το εμβαδόν, την περίμετρο και πολλά άλλα.
Συχνές ερωτήσεις
Ποιες μεθόδους μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτή η αριθμομηχανή για την επίλυση τριγώνων;
Αυτή η αριθμομηχανή μπορεί να λύσει τρίγωνα χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ΠΠΠ (τρεις πλευρές), ΠΓΠ (δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία), ΓΠΓ (δύο γωνίες και την περιεχόμενη πλευρά), ΓΓΠ (δύο γωνίες και μία πλευρά) και ΠΠΓ (δύο πλευρές και μια μη περιεχόμενη γωνία).
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μοιρών και ακτινίων;
Οι μοίρες και τα ακτίνια (radians) είναι δύο τρόποι μέτρησης γωνιών. Ένας πλήρης κύκλος είναι 360° ή 2π ακτίνια. Για μετατροπή: μοίρες = ακτίνια × (180/π), ακτίνια = μοίρες × (π/180).
Ελέγξτε τις μονάδες, τις παραδοχές και τη στρογγυλοποίηση πριν χρησιμοποιήσετε ένα αποτέλεσμα. Οι εκτιμήσεις υγείας και οικονομικών είναι εκπαιδευτικές και δεν αντικαθιστούν εξατομικευμένες επαγγελματικές συμβουλές.
Βρήκατε σφάλμα; Στείλτε το όνομα του εργαλείου, τα δεδομένα εισόδου και το αναμενόμενο και πραγματικό αποτέλεσμα για να το ελέγξουμε.
Λύστε οποιοδήποτε τρίγωνο χρησιμοποιώντας τις μεθόδους SSS, SAS, ASA, AAS και SSA. Υπολογίστε πλευρές, γωνίες, εμβαδόν, περίμετρο, ύψη, διαμέσους και άλλα.
Επίλυση Τριγώνου
°
°
°
Τι είναι το τρίγωνο;
Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο τριών πλευρών με τρεις κορυφές και τρεις γωνίες. Το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι πάντα ίσο με 180° (ή π ακτίνια). Τα τρίγωνα μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τις πλευρές τους (ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαληνό) ή με βάση τις γωνίες τους (οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο). Ο υπολογιστής τριγώνου μας μπορεί να λύσει οποιοδήποτε τρίγωνο όταν παρέχετε τουλάχιστον τρεις μετρήσεις: τρεις πλευρές (SSS), δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία (SAS), δύο γωνίες και μια πλευρά (ASA ή AAS) ή δύο πλευρές και μια γωνία (SSA - αμφίσημη περίπτωση).
Συμβολισμός τριγώνου
Στον υπολογιστή τριγώνου μας, χρησιμοποιούμε τον τυπικό συμβολισμό όπου οι πλευρές και οι γωνίες σχετίζονται ως εξής:
Η πλευρά a βρίσκεται απέναντι από τη γωνία A (α)
Η πλευρά b βρίσκεται απέναντι από τη γωνία B (β)
Η πλευρά c βρίσκεται απέναντι από τη γωνία C (γ)
Το άθροισμα των γωνιών A + B + C είναι πάντα 180° (ή π ακτίνια).
📏 Διάμεσοι τριγώνου
Η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους, οι οποίες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο που ονομάζεται βαρύκεντρο.
Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο σε αναλογία 2:1, με το μεγαλύτερο τμήμα να βρίσκεται κοντά στην κορυφή.
⭕ Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου (Inradius)
Η ακτίνα r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (incircle), ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος κύκλος που μπορεί να χωρέσει μέσα στο τρίγωνο.
r = (Εμβαδόν ÷ s) (όπου s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sΕμβαδοˊν(οˊπου s=2a+b+c)
Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ονομάζεται έγκεντρο, εκεί όπου συναντώνται οι διχοτόμοι των γωνιών.
🔵 Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου (Circumradius)
Η ακτίνα R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (circumcircle), ο οποίος διέρχεται και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.
R = (abc ÷ (4 × Εμβαδόν))
R=4×Εμβαδοˊνabc
Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ονομάζεται περίκεντρο, εκεί όπου συναντώνται οι μεσοκάθετοι των πλευρών.
💡 Ενδιαφέροντα γεγονότα για τα τρίγωνα
• Το άθροισμα των μηκών οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς (Τριγωνική Ανισότητα).
• Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα 180 μοίρες.
• Η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία και η μικρότερη πλευρά απέναντι από τη μικρότερη γωνία.
• Μια εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.
• Το βαρύκεντρο (τομή των διαμέσων) είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου.
• Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το μέσο της υποτείνουσας είναι το περίκεντρο.
Νόμος των Ημιτόνων
Ο νόμος των ημιτόνων δηλώνει ότι ο λόγος του μήκους μιας πλευράς ενός τριγώνου προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας της είναι σταθερός και για τις τρεις πλευρές και γωνίες. Αυτός ο νόμος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για την επίλυση τριγώνων όταν γνωρίζετε δύο γωνίες και μια πλευρά (ASA ή AAS) ή δύο πλευρές και μια γωνία (SSA).
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Νόμος των Συνημιτόνων
Ο νόμος των συνημιτόνων συσχετίζει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με το συνημίτονο μιας από τις γωνίες του. Είναι χρήσιμος για την επίλυση τριγώνων όταν γνωρίζετε τρεις πλευρές (SSS) ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία (SAS). Αυτός ο νόμος είναι μια γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Τύπος εμβαδού τριγώνου (Τύπος του Ήρωνα)
Ο τύπος του Ήρωνα σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου όταν γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές. Υπολογίστε πρώτα την ημιπερίμετρο s = (a + b + c)/2 και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον παρακάτω τύπο. Αυτός είναι ένας από τους πιο κομψούς τύπους στη γεωμετρία.
Εμβαδόν = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) όπου s = ((a+b+c) ÷ 2)
Εμβαδοˊν=s(s−a)(s−b)(s−c)οˊπου s=2a+b+c
Παραδείγματα υπολογισμού τριγώνου
Παράδειγμα 1: Ισόπλευρο τρίγωνο
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες με 18 μέτρα. Βρείτε όλες τις γωνίες και το εμβαδόν.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Ποιες είναι οι γωνίες και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρές 18 μέτρων;
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Όλες οι γωνίες είναι 60° (π/3 ακτίνια), Εμβαδόν = 140,296 m²
Solution Steps:
Δεδομένα: Όλες οι πλευρές a = b = c = 18 μέτρα
Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες οι γωνίες είναι ίσες
Κάθε γωνία = 180° / 3 = 60° = π/3 ακτίνια
Χρήση του τύπου εμβαδού: Εμβαδόν = (√3/4) × 18² = 140,296 m²
Από ένα σημείο σε απόσταση 600 μέτρων από τη βάση ενός βουνού, η γωνία ύψωσης προς την κορυφή είναι 45°. Εάν ο παρατηρητής βρίσκεται στο επίπεδο του εδάφους, πόσο ψηλό είναι το βουνό;
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Βρείτε το ύψος όταν η οριζόντια απόσταση = 600 m και η γωνία = 45°.
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Ύψος = 600 μέτρα
Solution Steps:
Δεδομένα: οριζόντια απόσταση = 600 m, γωνία ύψωσης = 45°
Χρήση τριγωνομετρίας ορθογωνίου τριγώνου: tan(45°) = ύψος / 600
ύψος = 600 × tan(45°) = 600
ύψος = 600 μέτρα
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
h = 600 × (45°) = 600 × 1 = 600
h=600×tan(45°)=600×1=600
Παράδειγμα 5: Σχεδιασμός ζευκτού στέγης
Ένα ζευκτό στέγης έχει μια οριζόντια δοκό μήκους 16 μέτρων. Οι δύο κεκλιμένες δοκοί συναντώνται σε μια κορυφή 6 μέτρα πάνω από το κέντρο. Βρείτε το μήκος κάθε κεκλιμένης δοκού.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Βρείτε το μήκος της κεκλιμένης δοκού με βάση = 8 m (το μισό του 16) και ύψος = 6 m.
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Κάθε κεκλιμένη δοκός = 10 μέτρα
Solution Steps:
Μισή βάση = 16/2 = 8 μέτρα
Ύψος = 6 μέτρα
Χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος: s² = 8² + 6²
s² = 64 + 36 = 100
s = 10 μέτρα
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
s = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √(100) = 10
s=82+62=64+36=100=10
Παράδειγμα 6: ASA - Δύο γωνίες και περιεχόμενη πλευρά
Σε μια τοπογράφηση, δύο γωνίες ενός τριγωνικού οικοπέδου είναι 55° και 65°, και η πλευρά μεταξύ τους είναι 50 μέτρα. Βρείτε τις άλλες δύο πλευρές.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Δεδομένων ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 50 m, βρείτε τις πλευρές a και c.
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
a ≈ 47,31 m, c ≈ 52,36 m
Solution Steps:
Δεδομένα: ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 50 m
Βρείτε τη γωνία ∠B = 180° - 55° - 65° = 60°
Χρήση του νόμου των ημιτόνων: a/sin(55°) = 50/sin(60°)
a = 50 × sin(55°) / sin(60°) ≈ 47,29 m
Ομοίως c ≈ 52,31 m
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
(a ÷ 55°) = (50 ÷ 60°) a = ((50 × 55°) ÷ 60°)
sin55°a=sin60°50⇒a=sin60°50×sin55°
Παράδειγμα 7: Ορθογώνιο τρίγωνο (Ειδική περίπτωση)
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια κάθετη πλευρά 9 cm και μια υποτείνουσα 15 cm. Βρείτε την άλλη κάθετη πλευρά και όλες τις γωνίες.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Δεδομένα: μία κάθετη πλευρά = 9 cm, υποτείνουσα = 15 cm, μία γωνία = 90°.
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Άλλη κάθετη πλευρά = 12 cm, γωνίες ≈ 36,87° και 53,13°
Solution Steps:
Δεδομένα: a = 9, c = 15, ∠C = 90°
Χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος: b² = c² - a² = 225 - 81 = 144
b = 12 cm
∠A = arcsin(9/15) ≈ 36,87°
∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
b = √(c^2 - a^2) = √(225 - 81) = √(144) = 12
b=c2−a2=225−81=144=12
Παράδειγμα 8: Ιστιοπλοϊκή ναυσιπλοΐα
Ένα ιστιοφόρο ταξιδεύει 8 ναυτικά μίλια ανατολικά, στη συνέχεια αλλάζει πορεία κατά 130° και ταξιδεύει 12 ναυτικά μίλια. Πόσο απέχει από το σημείο εκκίνησης;
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Βρείτε την απόσταση από την αρχή με πλευρές 8, 12 και περιεχόμενη γωνία 50° (180° - 130°).
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Απόσταση ≈ 9,21 ναυτικά μίλια
Solution Steps:
Η γωνία μεταξύ των διαδρομών = 180° - 130° = 50°
Χρήση του νόμου των συνημιτόνων: d² = 8² + 12² - 2(8)(12)cos(50°)
Ύψος από την κορυφή στη βάση: h = √(20² - 8²) = √336 ≈ 18,33
Εμβαδόν = (1/2) × βάση × ύψος = (1/2) × 16 × 18,33 = 146,64 cm²
Χρήση του νόμου των συνημιτόνων για τις γωνίες
Γωνίες βάσης ≈ 66,42°, γωνία κορυφής ≈ 47,16°
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
h = √(20^2 - 8^2) = √(400 - 64) = √(336) ≈ 18,33
h=202−82=400−64=336≈18,33
Παράδειγμα 10: Τρίγωνο εργοταξίου
Ένα εργοτάξιο σχηματίζει ένα τρίγωνο με κορυφές σε αποστάσεις 130 m, 150 m και 170 m η μία από την άλλη. Υπολογίστε το εμβαδόν για τον σχεδιασμό της εκσκαφής.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή μας εισάγοντας:
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές 130 m, 150 m, 170 m.
Ο υπολογιστής επιστρέφει:
Εμβαδόν ≈ 9389,99 m²
Solution Steps:
Δεδομένα: a = 130, b = 150, c = 170
Ημιπερίμετρος: s = (130 + 150 + 170) / 2 = 225
Χρήση του τύπου του Ήρωνα: Εμβαδόν = √(225 × 95 × 75 × 55)
Εμβαδόν = √(88.171.875) ≈ 9389,99 m²
Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε είναι:
s = ((130+150+170) ÷ 2) = 225, Εμβαδόν = √(225(95)(75)(55))
s=2130+150+170=225, Εμβαδοˊν=225(95)(75)(55)
Σύνοψη
Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν πώς ο υπολογιστής τριγώνου μας μπορεί να χειριστεί:
•Επίλυση τριγώνων με τρεις γνωστές πλευρές (SSS)
•Επίλυση τριγώνων με δύο πλευρές και περιεχόμενη γωνία (SAS)
•Επίλυση τριγώνων με δύο γωνίες και μια πλευρά (ASA, AAS)
•Υπολογισμό εμβαδού, περιμέτρου, υψών και διαμέσων
Μπορείτε να προσαρμόσετε οποιαδήποτε πραγματική κατάσταση που περιλαμβάνει τρίγωνα σε ένα από αυτά τα μοντέλα και να αφήσετε τον υπολογιστή να κάνει τη δουλειά για εσάς.