Toisen Asteen Yhtälön Laskin

Ratkaise toisen asteen yhtälöitä, laske diskriminantti, löydä kärkipiste ja muunna tekijöihin jaettuun muotoon ilmaisella toisen asteen yhtälön laskimellamme

Saatavilla Olevat Laskurit

Mikä on Toisen Asteen Yhtälö?

Toisen asteen yhtälö on 2. asteen polynomiyhtälö, yleensä kirjoitettu muodossa ax² + bx + c = 0, jossa a, b ja c ovat kertoimia ja a ≠ 0. Toisen asteen yhtälöt ovat algebran perusta ja esiintyvät monissa todellisissa sovelluksissa, fysiikasta taloustieteeseen.

Toisen Asteen Kaava

Toisen asteen kaavaa käytetään toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminantti

Diskriminantti (Δ = b² - 4ac) määrittää juurien luonteen: jos Δ > 0, on kaksi eri reaalijuurta; jos Δ = 0, on yksi toistuva reaalijuuri; jos Δ < 0, on kaksi kompleksijuurta.

Esimerkkejä Toisen Asteen Laskennoista

Tässä on useita arkipäivän tilanteita, jotka osoittavat, kuinka helppoa on käyttää toisen asteen yhtälön laskintamme.

Esimerkki 1: Ratkaise x² - 5x + 6 = 0

Ratkaise toisen asteen yhtälö x² - 5x + 6 = 0.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mitkä ovat x² - 5x + 6 = 0:n juuret?

Laskin palauttaa: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Käytetty kaava on:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Esimerkki 2: Diskriminantin Analyysi

Laske x² + 4x + 4 = 0:n diskriminantti.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on x² + 4x + 4 = 0:n diskriminantti?

Laskin palauttaa: Δ = 0 (yksi toistuva juuri)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Koska Δ = 0, on yksi toistuva juuri

Käytetty kaava on:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Esimerkki 3: Löydä Kärkipiste

Löydä paraabelin y = x² - 4x + 3 kärkipiste.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on y = x² - 4x + 3:n kärkipiste?

Laskin palauttaa: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Kärkipiste x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Kärkipiste y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Kärkipiste: (2, -1)

Käytetty kaava on:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Esimerkki 4: Tekijöihin Jaettu Muoto

Muunna x² - 5x + 6 = 0 tekijöihin jaettuun muotoon.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on x² - 5x + 6:n tekijöihin jaettu muoto?

Laskin palauttaa: (x - 2)(x - 3)

Juuret: x = 2, x = 3
Tekijöihin jaettu muoto: (x - 2)(x - 3)

Käytetty kaava on:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Esimerkki 5: Suomen Urheilun Projektiili

Jalkapallo potkaistaan ylöspäin ottelussa Olympiastadionilla Helsingissä. Löydä milloin se osuu maahan käyttäen h = -5t² + 15t = 0.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Milloin pallo osuu maahan?

Laskin palauttaa: t = 0, t = 3 sekuntia

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 tai t = 3 sekuntia

Käytetty kaava on:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Esimerkki 6: Pinta-ala Ongelma

Suorakulmiolla on pituus x ja leveys (10 - x). Löydä x kun pinta-ala on 24.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on x kun x(10 - x) = 24?

Laskin palauttaa: x = 4 tai x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 tai x = 6

Käytetty kaava on:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Esimerkki 7: Kompleksijuuret

Ratkaise x² + 2x + 5 = 0.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mitkä ovat x² + 2x + 5 = 0:n juuret?

Laskin palauttaa: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Koska Δ < 0, juuret ovat kompleksisia
x = -1 ± 2i

Käytetty kaava on:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Esimerkki 8: Maksimaalinen Voitto Suomen Yritys

Suomalainen yritys haluaa löytää hinnan, joka maksimoi voiton: P = -2p² + 40p - 100, jossa p on euroissa.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä hinta €:ssa maksimoi voiton?

Laskin palauttaa: p = 10 €

Kärkipiste x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maksimaalinen voitto p = 10 €:lla

Käytetty kaava on:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Esimerkki 9: Täydellinen Neliö

Ratkaise x² - 6x + 9 = 0.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on x² - 6x + 9 = 0:n juuri?

Laskin palauttaa: x = 3 (toistuva)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (toistuva juuri)

Käytetty kaava on:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Esimerkki 10: Tekijöihinjako

Muunna 2x² - 8x + 6 = 0 tekijöihin jaettuun muotoon.

Voit käyttää laskintamme syöttämällä:

Mikä on 2x² - 8x + 6:n tekijöihin jaettu muoto?

Laskin palauttaa: 2(x - 1)(x - 3)

Juuret: x = 1, x = 3
Tekijöihin jaettu muoto: 2(x - 1)(x - 3)

Käytetty kaava on:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Yhteenveto

Nämä esimerkit osoittavat, kuinka toisen asteen yhtälön laskin voi käsitellä:

  • •Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Diskriminanttien laskemista (Δ = b² - 4ac)
  • •Paraabelien kärkipisteiden löytämistä
  • •Muuntamista tekijöihin jaettuun muotoon

Voit sovittaa minkä tahansa toisen asteen yhtälöitä sisältävän todellisen tilanteen johonkin näistä malleista ja antaa laskimen tehdä työn puolestasi.

Kuinka Käyttää

  1. Syötä toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 kertoimet a, b ja c.
  2. Valitse tarvitsemasi laskentatyyppi (ratkaise, diskriminantti, kärkipiste tai tekijöihin jaettu muoto).
  3. Näytä tulos ja vaiheittainen laskennan selitys.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on toisen asteen kaava?

Toisen asteen kaava on x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, jota käytetään ax² + bx + c = 0 muotoisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Mikä on diskriminantti?

Diskriminantti (Δ = b² - 4ac) määrittää juurien luonteen: jos Δ > 0, on kaksi reaalijuurta; jos Δ = 0, yksi toistuva juuri; jos Δ < 0, kaksi kompleksijuurta.

Aiheeseen liittyvät työkalut

Tietoa työkalusta

Julkaisija: Online Tools Center

Viimeksi päivitetty:

Tarkista yksiköt, oletukset ja pyöristykset ennen tuloksen käyttöä. Terveys- ja talousarviot ovat opastavia eivätkä korvaa henkilökohtaista asiantuntijan neuvontaa.

Löysitkö virheen? Lähetä työkalun nimi, syötetyt tiedot sekä odotettu ja saatu tulos, jotta voimme tutkia asian.

Ilmoita ongelmasta