מחשבון משולשים

פתור כל משולש באמצעות שיטות SSS, SAS, ASA, AAS ו-SSA. חשב צלעות, זוויות, שטח, היקף, גבהים, תיכונים ועוד.

פתרון משולש

יחידת זווית:

מהו משולש?

משולש הוא מצולע בעל שלושה צדדים עם שלושה קודקודים ושלוש זוויות. סכום כל הזוויות הפנימיות במשולש הוא תמיד 180 מעלות (או π רדיאנים). ניתן לסווג משולשים לפי הצלעות שלהם (שווי צלעות, שווה שוקיים, שונה צלעות) או לפי הזוויות שלהם (חד זווית, ישר זווית, קהה זווית). מחשבון המשולשים שלנו יכול לפתור כל משולש כאשר אתה מספק לפחות שלוש מדידות: שלוש צלעות (SSS), שתי צלעות והזווית שביניהן (SAS), שתי זוויות וצלע (ASA או AAS), או שתי צלעות וזווית מול אחת מהן (SSA - מקרה מעורפל).

סימון משולש

במחשבון המשולשים שלנו, אנו משתמשים בסימון סטנדרטי שבו הצלעות והזוויות קשורות כדלקמן:

צלע a מול זווית A (α)
צלע b מול זווית B (β)
צלע c מול זווית C (γ)

סכום הזוויות A + B + C הוא תמיד 180 מעלות (או π רדיאנים).

📏 תיכונים במשולש

תיכון במשולש הוא קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו. לכל משולש שלושה תיכונים, הנחתכים בנקודה אחת הנקראת מפגש התיכונים.

מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס של 2:1, כשהחלק הארוך קרוב לקודקוד.

⭕ רדיוס המעגל החסום (Inradius)

הרדיוס r הוא רדיוס המעגל החסום (incircle), שהוא המעגל הגדול ביותר שיכול להיכנס בתוך המשולש.

מרכז המעגל החסום נקרא 'מרכז המעגל החסום', שם נפגשים חוצי הזוויות.

🔵 רדיוס המעגל החוסם (Circumradius)

הרדיוס R הוא רדיוס המעגל החוסם (circumcircle), העובר דרך כל שלושת קודקודי המשולש.

מרכז המעגל החוסם נקרא 'מרכז המעגל החוסם', שם נפגשים האנכים האמצעיים לצלעות.

💡 עובדות מעניינות על משולשים

• סכום האורכים של כל שתי צלעות במשולש חייב להיות גדול מאורך הצלע השלישית (אי-שוויון המשולש).
• סכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא תמיד 180 מעלות.
• הצלע הגדולה ביותר נמצאת תמיד מול הזווית הגדולה ביותר, והצלע הקטנה ביותר מול הזווית הקטנה ביותר.
• זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
• מפגש התיכונים (נקודת חיתוך התיכונים) הוא מרכז הכובד של המשולש.
• במשולש ישר זווית, אמצע היתר הוא מרכז המעגל החוסם.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש לבין סינוס הזווית שמולה הוא קבוע לכל שלוש הצלעות והזוויות. חוק זה שימושי במיוחד לפתרון משולשים כאשר ידועות שתי זוויות וצלע אחת (ASA או AAS) או שתי צלעות וזווית (SSA).

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מקשר בין אורכי הצלעות של משולש לבין הקוסינוס של אחת מזוויותיו. הוא שימושי לפתרון משולשים כאשר ידועות שלוש צלעות (SSS) או שתי צלעות והזווית שביניהן (SAS). חוק זה הוא הכללה של משפט פיתגורס.

נוסחת שטח משולש (נוסחת הרון)

נוסחת הרון מאפשרת לחשב את שטח המשולש כאשר ידועות כל שלוש הצלעות. ראשית חשב את חצי ההיקף s = (a + b + c)/2, ולאחר מכן השתמש בנוסחה למטה. זוהי אחת הנוסחאות האלגנטיות ביותר בגיאומטריה.

דוגמאות לחישוב משולשים

דוגמה 1: משולש שווי צלעות

במשולש שווי צלעות כל שלוש הצלעות שוות ל-12 מטרים. מצא את כל הזוויות ואת השטח.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

מהן הזוויות והשטח של משולש שווי צלעות עם צלעות של 12 מטרים?

המחשבון מחזיר:

כל הזוויות הן 60 מעלות (π/3 רדיאנים), שטח = 62.354 מ"ר

Solution Steps:

נתון: כל הצלעות a = b = c = 12 מטרים

במשולש שווי צלעות, כל הזוויות שוות

כל זווית = 180 / 3 = 60 מעלות = π/3 רדיאנים

שימוש בנוסחת השטח: שטח = (√3/4) × 12² = 62.354 מ"ר

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 2: SSS - שלוש צלעות ידועות

למשולש יש צלעות של 9 ס"מ, 10 ס"מ ו-11 ס"מ. מצא את כל הזוויות ואת השטח.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

פתור משולש עם צלעות a = 9, b = 10, c = 11.

המחשבון מחזיר:

∠A = 50.48°, ∠B = 58.75°, ∠C = 70.77°, שטח = 42.43 סמ"ר

Solution Steps:

נתון: a = 9, b = 10, c = 11

שימוש במשפט הקוסינוסים: cos C = (9² + 10² - 11²) / (2×9×10) = 60/180

C = arccos(1/3) ≈ 70.53°

באופן דומה מצא את A ≈ 48.19° ואת B ≈ 61.28°

שטח באמצעות נוסחת הרון = 42.43 סמ"ר

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 3: SAS - שתי צלעות וזווית כלואה

מודד מודד שתי צלעות של קרקע משולשת כ-20 מ' ו-25 מ' עם זווית של 45 מעלות ביניהן. מצא את הצלע השלישית.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

בהינתן צלעות a = 20 מ', b = 25 מ' וזווית C = 45 מעלות, מצא את צלע c.

המחשבון מחזיר:

c ≈ 17.65 מטרים

Solution Steps:

נתון: a = 20, b = 25, C = 45°

שימוש במשפט הקוסינוסים: c² = 20² + 25² - 2(20)(25)cos(45°)

c² = 400 + 625 - 1000(0.7071) = 1025 - 707.1 = 317.9

c = √317.9 ≈ 17.83 מטרים

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 4: חישוב גובה הר

מנקודה המרוחקת 500 מטרים מבסיס הר, זווית ההגבהה לפסגה היא 30 מעלות. אם הצופה נמצא בגובה הקרקע, מה גובה ההר?

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

מצא את הגובה כאשר המרחק האופקי = 500 מ' והזווית = 30 מעלות.

המחשבון מחזיר:

גובה ≈ 288.7 מטרים

Solution Steps:

נתון: מרחק אופקי = 500 מ', זווית הגבהה = 30°

שימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית: tan(30°) = גובה / 500

גובה = 500 × tan(30°) ≈ 500 × 0.5773

גובה ≈ 288.7 מטרים

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 5: עיצוב מסבך גג

למסבך גג יש קורה אופקית של 16 מטרים. שתי הקורות המשופעות נפגשות בשיא בגובה 6 מטרים מעל המרכז. מצא את האורך של כל קורה משופעת.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

מצא את אורך הקורה המשופעת עם בסיס = 8 מ' (חצי מה-16) וגובה = 6 מ'.

המחשבון מחזיר:

כל קורה משופעת = 10 מטרים

Solution Steps:

חצי מהבסיס = 16 / 2 = 8 מטרים

גובה = 6 מטרים

שימוש במשפט פיתגורס: s² = 8² + 6²

s² = 64 + 36 = 100

s = 10 מטרים

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 6: ASA - שתי זוויות וצלע כלואה

במדידה, שתי זוויות של חלקת אדמה משולשת הן 35 מעלות ו-75 מעלות, והצלע ביניהן היא 40 מטרים. מצא את שתי הצלעות האחרות.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

בהינתן ∠A = 35°, ∠C = 75°, b = 40 מ', מצא את צלעות a ו-c.

המחשבון מחזיר:

a ≈ 24.41 מ', c ≈ 41.13 מ'

Solution Steps:

נתון: ∠A = 35°, ∠C = 75°, b = 40 מ'

מצא את ∠B = 180 - 35 - 75 = 70 מעלות

שימוש במשפט הסינוסים: a/sin(35°) = 40/sin(70°)

a = 40 × sin(35°) / sin(70°) ≈ 24.42 מ'

באופן דומה, c ≈ 41.12 מ'

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 7: משולש ישר זווית (מקרה מיוחד)

למשולש ישר זווית יש ניצב אחד של 16 ס"מ ויתר של 20 ס"מ. מצא את הניצב השני ואת כל הזוויות.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

נתון: ניצב אחד = 16 ס"מ, יתר = 20 ס"מ, זווית אחת = 90 מעלות.

המחשבון מחזיר:

ניצב שני = 12 ס"מ, זוויות ≈ 36.87 מעלות ו-53.13 מעלות

Solution Steps:

נתון: a = 16, c = 20, ∠C = 90°

שימוש במשפט פיתגורס: b² = c² - a² = 400 - 256 = 144

b = 12 ס"מ

∠A = arcsin(16/20) ≈ 53.13°

∠B = 90 - 53.13 ≈ 36.87°

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 8: ניווט מפרשית

מפרשית מפליגה 10 מיילים ימיים מזרחה, ואז משנה את מסלולה ב-120 מעלות ומפליגה 15 מיילים ימיים. כמה היא רחוקה מנקודת ההתחלה?

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

מצא את המרחק מההתחלה עם צלעות 10, 15 וזווית כלואה 60 מעלות (180 - 120).

המחשבון מחזיר:

מרחק ≈ 13.23 מיילים ימיים

Solution Steps:

הזווית בין המסלולים = 180 - 120 = 60 מעלות

שימוש במשפט הקוסינוסים: d² = 10² + 15² - 2(10)(15)cos(60°)

d² = 100 + 225 - 150 = 175

d = √175 ≈ 13.23 מיילים ימיים

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 9: משולש שווה שוקיים

למשולש שווה שוקיים יש שתי שוקיים שוות באורך 17 ס"מ ובסיס של 12 ס"מ. מצא את הזוויות ואת השטח.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

נתון: שתי צלעות = 17 ס"מ, בסיס = 12 ס"מ, מצא זוויות ושטח.

המחשבון מחזיר:

זוויות בסיס ≈ 69.33°, זווית ראש ≈ 41.34°, שטח ≈ 95.25 סמ"ר

Solution Steps:

נתון: a = c = 17, b = 12

גובה מהראש לבסיס: h = √(17² - 6²) = √253 ≈ 15.91

שטח = (1/2) × בסיס × גובה = (1/2) × 12 × 15.91 ≈ 95.46 סמ"ר

שימוש במשפט הקוסינוסים לזוויות

זוויות בסיס ≈ 69.33°, זווית ראש ≈ 41.34°

הנוסחה ששימשה היא:

דוגמה 10: משולש אתר בנייה

אתר בנייה יוצר משולש שקודקודיו נמצאים במרחקים של 60 מ', 70 מ' ו-80 מ' זה מזה. חשב את השטח לתכנון חפירה.

תוכל להשתמש במחשבון שלנו על ידי הזנת:

מצא את שטח המשולש עם צלעות של 60 מ', 70 מ', 80 מ'.

המחשבון מחזיר:

שטח ≈ 2033.31 מ"ר

Solution Steps:

נתון: a = 60, b = 70, c = 80

חצי היקף: s = (60 + 70 + 80) / 2 = 105

שימוש בנוסחת הרון: שטח = √(105 × 45 × 35 × 25)

שטח = √(4134375) ≈ 2033.31 מ"ר

הנוסחה ששימשה היא:

סיכום

דוגמאות אלו מראות כיצד מחשבון המשולשים שלנו יכול להתמודד עם:

•פתרון משולשים עם שלוש צלעות ידועות (SSS)
•פתרון משולשים עם שתי צלעות וזווית כלואה (SAS)
•פתרון משולשים עם שתי זוויות וצלע (ASA, AAS)
•חישוב שטח, היקף, גבהים ותיכונים

אתה יכול להתאים כל סיטואציה מהחיים האמיתיים הכוללת משולשים לאחד המודלים האלו ולתת למחשבון לעשות את העבודה עבורך.

דרג את המחשבון הזה

איך להשתמש

הזן לפחות 3 ערכים (צלעות או זוויות) בתיבות הקלט מסביב לדיאגרמת המשולש.
בחר את יחידת הזווית המועדפת עליך (מעלות או רדיאנים) מהתפריט הנפתח.
לחץ על 'חשב' כדי לפתור את המשולש ולראות את כל המדידות, השטח, ההיקף ועוד.

שאלות נפוצות

באילו שיטות מחשבון זה יכול להשתמש כדי לפתור משולשים?

מחשבון זה יכול לפתור משולשים באמצעות שיטות צצצ (שלוש צלעות), צזצ (שתי צלעות והזווית שביניהן), זצז (שתי זוויות והצלע שביניהן), זזצ (שתי זוויות וצלע) ו-צצז (שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן).

מה ההבדל בין מעלות לרדיאנים?

מעלות ורדיאנים הן שתי דרכים למדידת זוויות. מעגל שלם הוא 360° או 2π רדיאנים. להמרה: מעלות = רדיאנים × (180/π), רדיאנים = מעלות × (π/180).

על הכלי הזה

פורסם על ידי Online Tools Center

עודכן לאחרונה: 30 בספטמבר 2026

לפני השימוש בתוצאה יש לבדוק יחידות, הנחות ועיגול. הערכות בריאותיות ופיננסיות נועדו ללמידה ואינן מחליפות ייעוץ מקצועי אישי.

מצאתם טעות? שלחו את שם הכלי, הנתונים שהוזנו, התוצאה הצפויה והתוצאה שהתקבלה כדי שנוכל לבדוק.

דיווח על בעיה

מהו משולש?

סימון משולש

במחשבון המשולשים שלנו, אנו משתמשים בסימון סטנדרטי שבו הצלעות והזוויות קשורות כדלקמן:

צלע a מול זווית A (α)
צלע b מול זווית B (β)
צלע c מול זווית C (γ)

סכום הזוויות A + B + C הוא תמיד 180 מעלות (או π רדיאנים).

📏 תיכונים במשולש

מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס של 2:1, כשהחלק הארוך קרוב לקודקוד.

⭕ רדיוס המעגל החסום (Inradius)

הרדיוס r הוא רדיוס המעגל החסום (incircle), שהוא המעגל הגדול ביותר שיכול להיכנס בתוך המשולש.

מרכז המעגל החסום נקרא 'מרכז המעגל החסום', שם נפגשים חוצי הזוויות.

🔵 רדיוס המעגל החוסם (Circumradius)

הרדיוס R הוא רדיוס המעגל החוסם (circumcircle), העובר דרך כל שלושת קודקודי המשולש.

מרכז המעגל החוסם נקרא 'מרכז המעגל החוסם', שם נפגשים האנכים האמצעיים לצלעות.

💡 עובדות מעניינות על משולשים

• סכום האורכים של כל שתי צלעות במשולש חייב להיות גדול מאורך הצלע השלישית (אי-שוויון המשולש).
• סכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא תמיד 180 מעלות.
• הצלע הגדולה ביותר נמצאת תמיד מול הזווית הגדולה ביותר, והצלע הקטנה ביותר מול הזווית הקטנה ביותר.
• זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
• מפגש התיכונים (נקודת חיתוך התיכונים) הוא מרכז הכובד של המשולש.
• במשולש ישר זווית, אמצע היתר הוא מרכז המעגל החוסם.

מחשבון משולשים

פתרון משולש

מהו משולש?

סימון משולש

📏 תיכונים במשולש

⭕ רדיוס המעגל החסום (Inradius)

🔵 רדיוס המעגל החוסם (Circumradius)

💡 עובדות מעניינות על משולשים

משפט הסינוסים

משפט הקוסינוסים

נוסחת שטח משולש (נוסחת הרון)

דוגמאות לחישוב משולשים

דוגמה 1: משולש שווי צלעות

דוגמה 2: SSS - שלוש צלעות ידועות

דוגמה 3: SAS - שתי צלעות וזווית כלואה

דוגמה 4: חישוב גובה הר

דוגמה 5: עיצוב מסבך גג

דוגמה 6: ASA - שתי זוויות וצלע כלואה

דוגמה 7: משולש ישר זווית (מקרה מיוחד)

דוגמה 8: ניווט מפרשית

דוגמה 9: משולש שווה שוקיים

דוגמה 10: משולש אתר בנייה

סיכום

דרג את המחשבון הזה

איך להשתמש

שאלות נפוצות

כלים קשורים

על הכלי הזה

מחשבון משולשים

פתרון משולש

מהו משולש?

סימון משולש

📏 תיכונים במשולש

⭕ רדיוס המעגל החסום (Inradius)

🔵 רדיוס המעגל החוסם (Circumradius)

💡 עובדות מעניינות על משולשים

משפט הסינוסים

משפט הקוסינוסים

נוסחת שטח משולש (נוסחת הרון)

דוגמאות לחישוב משולשים

דוגמה 1: משולש שווי צלעות

דוגמה 2: SSS - שלוש צלעות ידועות

דוגמה 3: SAS - שתי צלעות וזווית כלואה

דוגמה 4: חישוב גובה הר

דוגמה 5: עיצוב מסבך גג

דוגמה 6: ASA - שתי זוויות וצלע כלואה

דוגמה 7: משולש ישר זווית (מקרה מיוחד)

דוגמה 8: ניווט מפרשית

דוגמה 9: משולש שווה שוקיים

דוגמה 10: משולש אתר בנייה

סיכום

דרג את המחשבון הזה