Trīsstūra Kalkulators

Atrisiniet jebkuru trīsstūri, izmantojot SSS, SAS, ASA, AAS un SSA metodes. Aprēķiniet malas, leņķus, laukumu, perimetru, augstumus, mediānas un citus parametrus.

Trīsstūra Risinātājs

Leņķa mērvienība:

Kas ir trīsstūris?

Trīsstūris ir trīspusējs daudzstūris ar trim virsotnēm un trim leņķiem. Visu trīsstūra iekšējo leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180° (vai π radiāniem). Trīsstūrus var klasificēt pēc to malām (vienādmalu, vienādsānu, dažādmalu) vai pēc to leņķiem (šaurleņķa, taisnleņķa, platleņķa). Mūsu trīsstūra kalkulators var atrisināt jebkuru trīsstūri, ja norādāt vismaz trīs mērījumus: trīs malas (SSS), divas malas un leņķi starp tām (SAS), divus leņķus un vienu malu (ASA vai AAS) vai divas malas un pretējo leņķi (SSA – neviennozīmīgs gadījums).

Trīsstūra apzīmējumi

Mūsu trīsstūra kalkulatorā mēs izmantojam standarta apzīmējumus, kur malas un leņķi ir saistīti šādi:

Mala a atrodas pretī leņķim A (α)
Mala b atrodas pretī leņķim B (β)
Mala c atrodas pretī leņķim C (γ)

Leņķu summa A + B + C vienmēr ir 180° (vai π radiāni).

📏 Trīsstūra mediānas

Trīsstūra mediāna ir nogrieznis, kas savieno virsotni ar pretējās malas viduspunktu. Katram trīsstūrim ir trīs mediānas, kas krustojas vienā punktā, ko sauc par smaguma centru.

Smaguma centrs sadala katru mediānu attiecībā 2:1, garākajai daļai atrodoties pie virsotnes.

⭕ Ievilktā apļa rādiuss (Inradius)

Rādiuss r ir ievilktā apļa (incircle) rādiuss, kas ir lielākais aplis, ko var ievietot trīsstūra iekšpusē.

Ievilktā apļa centru sauc par incenter, kur satiekas leņķu bisektrises.

🔵 Apvilktā apļa rādiuss (Circumradius)

Rādiuss R ir apvilktā apļa (circumcircle) rādiuss, kas iet caur visām trim trīsstūra virsotnēm.

Apvilktā apļa centru sauc par circumcenter, kur satiekas malu vidusperpendikuli.

💡 Interesanti fakti par trīsstūriem

• Jebkuru divu trīsstūra malu garumu summai jābūt lielākai par trešās malas garumu (trīsstūra nevienādība).
• Trīsstūra iekšējo leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
• Garākā mala vienmēr atrodas pretī lielākajam leņķim, bet īsākā mala – pretī mazākajam leņķim.
• Trīsstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu attālo iekšējo leņķu summu.
• Smaguma centrs (mediānu krustpunkts) ir trīsstūra smaguma centrs.
• Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas viduspunkts ir apvilktā apļa centrs.

Sinusu teorēma

Sinusu teorēma nosaka, ka attiecība starp trīsstūra malas garumu un tās pretējā leņķa sinusu ir nemainīga visām trim malām un leņķiem. Šis likums ir īpaši noderīgs trīsstūru risināšanai, ja zināt divus leņķus un vienu malu (ASA vai AAS) vai divas malas un pretējo leņķi (SSA).

Kosinusu teorēma

Kosinusu teorēma saista trīsstūra malu garumus ar viena tā leņķa kosinusu. Tā ir noderīga trīsstūru risināšanai, ja zināt trīs malas (SSS) vai divas malas un leņķi starp tām (SAS). Šis likums ir Pitagora teorēmas vispārinājums.

Trīsstūra laukuma formula (Hērona formula)

Hērona formula ļauj aprēķināt trīsstūra laukumu, ja zināt visas trīs malas. Vispirms aprēķiniet pusperimetru s = (a + b + c)/2, pēc tam izmantojiet zemāk redzamo formu. Šī ir viena no elegantākajām formulām ģeometrijā.

Trīsstūra aprēķinu piemēri

1. piemērs: Vienādmalu trīsstūris

Vienādmalu trīsstūra visas trīs malas ir vienādas ar 5 metriem. Atrodiet visus leņķus un laukumu.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Kādi ir leņķi un laukums vienādmalu trīsstūrim, kura malas ir 5 metri?

Kalkulators atgriež:

Visi leņķi ir 60° (π/3 radiāni), Laukums = 10,825 m²

Solution Steps:

Dots: visas malas a = b = c = 5 metri

Vienādmalu trīsstūrī visi leņķi ir vienādi

Katrs leņķis = 180° / 3 = 60° = π/3 radiāni

Izmantojot laukuma formu: Laukums = (√3/4) × 5² = 10,825 m²

Izmantotā formula:

2. piemērs: SSS – trīs zināmas malas

Trīsstūrim ir malas 7 cm, 10 cm un 13 cm. Atrodiet visus leņķus un laukumu.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Atrisiniet trīsstūri ar malām a = 7, b = 10, c = 13.

Kalkulators atgriež:

∠A = 32,20°, ∠B = 49,58°, ∠C = 98,21°, Laukums = 34,64 cm²

Solution Steps:

Dots: a = 7, b = 10, c = 13

Izmantojot kosinusu teorēmu: cos C = (7² + 10² - 13²) / (2×7×10) = -0,1428

C = arccos(-0,1428) ≈ 98,21°

Līdzīgi atrodiet A ≈ 32,20° un B ≈ 49,58°

Laukums pēc Hērona formulas = 34,64 cm²

Izmantotā formula:

3. piemērs: SAS – divas malas un leņķis starp tām

Mērnieks mēra divas trīsstūrveida zemes gabala malas kā 40 m un 60 m, ar 30° leņķi starp tām. Atrodiet trešo malu.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Ņemot vērā malas a = 40 m, b = 60 m un leņķi C = 30°, atrodiet malu c.

Kalkulators atgriež:

c ≈ 32,32 metri

Solution Steps:

Dots: a = 40, b = 60, C = 30°

Izmantojot kosinusu teorēmu: c² = 40² + 60² - 2(40)(60)cos(30°)

c² = 1600 + 3600 - 4800(0,866) = 5200 - 4156,8 = 1043,2

c = √1043,2 ≈ 32,30 metri

Izmantotā formula:

4. piemērs: Kalna augstuma aprēķināšana

No punkta, kas atrodas 800 metru attālumā no kalna pakājes, pacēluma leņķis līdz virsotnei ir 25°. Ja novērotājs atrodas zemes līmenī, cik augsts ir kalns?

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Atrodiet augstumu, ja horizontālais attālums = 800 m un leņķis = 25°.

Kalkulators atgriež:

Augstums ≈ 373,0 metri

Solution Steps:

Dots: horizontālais attālums = 800 m, pacēluma leņķis = 25°

Izmantojot taisnleņķa trīsstūra trigonometriju: tan(25°) = augstums / 800

augstums = 800 × tan(25°) ≈ 800 × 0,4663

augstums ≈ 373,0 metri

Izmantotā formula:

5. piemērs: Jumta kopnes dizains

Jumta kopnei ir 12 metrus gara horizontāla sija. Abas slīpās sijas satiekas virsotnē 4 metrus virs centra. Atrodiet katras slīpās sijas garumu.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Atrodiet slīpās sijas garumu ar pamatni = 6 m (puse no 12) un augstumu = 4 m.

Kalkulators atgriež:

Katra slīpā sija ≈ 7,21 metrs

Solution Steps:

Puse no pamatnes = 12/2 = 6 metri

Augstums = 4 metri

Izmantojot Pitagora teorēmu: s² = 6² + 4²

s² = 36 + 16 = 52

s = √52 ≈ 7,21 metrs

Izmantotā formula:

6. piemērs: ASA – divi leņķi un mala starp tiem

Mērniecībā divi trīsstūrveida zemes gabala leņķi ir 45° un 75°, un mala starp tiem ir 50 metri. Atrodiet pārējās divas malas.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Norādīti leņķi ∠A = 45°, ∠C = 75°, b = 50 m, atrodiet malas a un c.

Kalkulators atgriež:

a ≈ 40,82 m, c ≈ 55,90 m

Solution Steps:

Dots: ∠A = 45°, ∠C = 75°, b = 50 m

Atrodiet leņķi ∠B = 180° - 45° - 75° = 60°

Izmantojot sinusu teorēmu: a/sin(45°) = 50/sin(60°)

a = 50 × sin(45°) / sin(60°) ≈ 40,82 m

Līdzīgi c ≈ 55,91 m

Izmantotā formula:

7. piemērs: Taisnleņķa trīsstūris (īpašs gadījums)

Taisnleņķa trīsstūrim ir viena katete 9 cm un hipotenuza 15 cm. Atrodiet otru kateti un visus leņķus.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Dots: viena katete = 9 cm, hipotenuza = 15 cm, viens leņķis = 90°.

Kalkulators atgriež:

Otra katete = 12 cm, leņķi ≈ 36,87° un 53,13°

Solution Steps:

Dots: a = 9, c = 15, ∠C = 90°

Izmantojot Pitagora teorēmu: b² = c² - a² = 225 - 81 = 144

b = 12 cm

∠A = arcsin(9/15) ≈ 36,87°

∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°

Izmantotā formula:

8. piemērs: Burāšanas navigācija

Bura kuģis nobrauc 15 jūras jūdzes uz austrumiem, pēc tam maina kursu par 110° un nobrauc 20 jūras jūdzes. Cik tālu tas atrodas no sākuma punkta?

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Atrodiet attālumu no sākuma ar malām 15, 20 un starp leņķi 70° (180° - 110°).

Kalkulators atgriež:

Attālums ≈ 20,62 jūras jūdzes

Solution Steps:

Leņķis starp ceļiem = 180° - 110° = 70°

Izmantojot kosinusu teorēmu: d² = 15² + 20² - 2(15)(20)cos(70°)

d² = 225 + 400 - 600(0,3420) = 625 - 205,2 = 419,8

d = √419,8 ≈ 20,49 jūras jūdzes

Izmantotā formula:

9. piemērs: Vienādsānu trīsstūris

Vienādsānu trīsstūrim ir divas vienādas malas ar garumu 14 cm un pamatne 10 cm. Atrodiet leņķus un laukumu.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Dots: divas malas = 14 cm, pamatne = 10 cm, atrodiet leņķus un laukumu.

Kalkulators atgriež:

Pamata leņķi ≈ 69,08°, virsotnes leņķis ≈ 41,84°, Laukums ≈ 65,38 cm²

Solution Steps:

Dots: a = c = 14, b = 10

Augstums no virsotnes līdz pamatnei: h = √(14² - 5²) = √171 ≈ 13,08

Laukums = (1/2) × pamatne × augstums = (1/2) × 10 × 13,08 = 65,40 cm²

Izmantojot kosinusu teorēmu leņķiem

Pamata leņķi ≈ 69,08°, virsotnes leņķis ≈ 41,84°

Izmantotā formula:

10. piemērs: Būvlaukuma trīsstūris

Būvlaukums veido trīsstūri, kura stūri atrodas 55 m, 75 m un 95 m attālumā viens no otra. Aprēķiniet laukumu rakšanas darbu plānošanai.

Mūsu kalkulatoru varat izmantot, ievadot:

Atrodiet trīsstūra laukumu ar malām 55 m, 75 m, 95 m.

Kalkulators atgriež:

Laukums ≈ 2038,65 m²

Solution Steps:

Dots: a = 55, b = 75, c = 95

Pusperimetrs: s = (55 + 75 + 95) / 2 = 112,5

Izmantojot Hērona formu: Area = √(112,5 × 57,5 × 37,5 × 17,5)

Laukums = √(4.245.117,1875) ≈ 2060,37 m²

Izmantotā formula:

Kopsavilkums

Šie piemēri parāda, kā mūsu trīsstūra kalkulators var tikt galā ar:

•Trīsstūru risināšanu ar trim zināmām malām (SSS)
•Trīsstūru risināšanu ar divām malām un leņķi starp tām (SAS)
•Trīsstūru risināšanu ar diviem leņķiem un malu (ASA, AAS)
•Laukuma, perimetra, augstumu un mediānu aprēķināšanu

Jūs varat pielāgot jebkuru situāciju, kas saistīta ar trīsstūriem, kādam no šiem modeļiem un ļaut kalkulatoram paveikt darbu jūsu vietā.

Novērtējiet Šo Kalkulatoru

Kā lietot

Ievadiet vismaz 3 vērtības (malas vai leņķus) ievades laukos ap trīsstūra diagrammu.
Nolaižamajā izvēlnē izvēlieties vēlamo leņķa mērvienību (grādus vai radiānus).
Noklikšķiniet uz Aprēķināt, lai atrisinātu trīsstūri un skatītu visus mērījumus, laukumu, perimetru un citu informāciju.

Bieži uzdotie jautājumi

Kādas metodes šis kalkulators var izmantot trīsstūru risināšanai?

Šis kalkulators var atrisināt trīsstūrus, izmantojot SSS (trīs malas), SAS (divas malas un leņķis starp tām), ASA (divi leņķi un mala starp tiem), AAS (divi leņķi un mala) un SSA (divas malas un leņķis, kas nav starp tām) metodes.

Kāda ir atšķirība starp grādiem un radiāniem?

Grādi un radiāni ir divi veidi, kā izmērīt leņķus. Pilns aplis ir 360° vai 2π radiāni. Lai pārvērstu: grādi = radiāni × (180/π), radiāni = grādi × (π/180).

Par šo rīku

Publicējis Online Tools Center

Pēdējoreiz atjaunināts: 2026. gada 30. septembris

Pirms rezultāta izmantošanas pārbaudiet mērvienības, pieņēmumus un noapaļošanu. Veselības un finanšu aplēses ir izglītojošas un neaizstāj individuālu speciālista konsultāciju.

Atrasta kļūda? Nosūtiet rīka nosaukumu, ievadītos datus, sagaidāmo un faktisko rezultātu, lai varam to pārbaudīt.

Ziņot par problēmu

Kas ir trīsstūris?

Trīsstūra apzīmējumi

Mūsu trīsstūra kalkulatorā mēs izmantojam standarta apzīmējumus, kur malas un leņķi ir saistīti šādi:

Mala a atrodas pretī leņķim A (α)
Mala b atrodas pretī leņķim B (β)
Mala c atrodas pretī leņķim C (γ)

Leņķu summa A + B + C vienmēr ir 180° (vai π radiāni).

📏 Trīsstūra mediānas

Trīsstūra mediāna ir nogrieznis, kas savieno virsotni ar pretējās malas viduspunktu. Katram trīsstūrim ir trīs mediānas, kas krustojas vienā punktā, ko sauc par smaguma centru.

Smaguma centrs sadala katru mediānu attiecībā 2:1, garākajai daļai atrodoties pie virsotnes.

⭕ Ievilktā apļa rādiuss (Inradius)

Rādiuss r ir ievilktā apļa (incircle) rādiuss, kas ir lielākais aplis, ko var ievietot trīsstūra iekšpusē.

Ievilktā apļa centru sauc par incenter, kur satiekas leņķu bisektrises.

🔵 Apvilktā apļa rādiuss (Circumradius)

Rādiuss R ir apvilktā apļa (circumcircle) rādiuss, kas iet caur visām trim trīsstūra virsotnēm.

Apvilktā apļa centru sauc par circumcenter, kur satiekas malu vidusperpendikuli.

💡 Interesanti fakti par trīsstūriem

• Jebkuru divu trīsstūra malu garumu summai jābūt lielākai par trešās malas garumu (trīsstūra nevienādība).
• Trīsstūra iekšējo leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
• Garākā mala vienmēr atrodas pretī lielākajam leņķim, bet īsākā mala – pretī mazākajam leņķim.
• Trīsstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu attālo iekšējo leņķu summu.
• Smaguma centrs (mediānu krustpunkts) ir trīsstūra smaguma centrs.
• Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas viduspunkts ir apvilktā apļa centrs.

Trīsstūra Kalkulators

Trīsstūra Risinātājs

Kas ir trīsstūris?

Trīsstūra apzīmējumi

📏 Trīsstūra mediānas

⭕ Ievilktā apļa rādiuss (Inradius)

🔵 Apvilktā apļa rādiuss (Circumradius)

💡 Interesanti fakti par trīsstūriem

Sinusu teorēma

Kosinusu teorēma

Trīsstūra laukuma formula (Hērona formula)

Trīsstūra aprēķinu piemēri

1. piemērs: Vienādmalu trīsstūris

2. piemērs: SSS – trīs zināmas malas

3. piemērs: SAS – divas malas un leņķis starp tām

4. piemērs: Kalna augstuma aprēķināšana

5. piemērs: Jumta kopnes dizains

6. piemērs: ASA – divi leņķi un mala starp tiem

7. piemērs: Taisnleņķa trīsstūris (īpašs gadījums)

8. piemērs: Burāšanas navigācija

9. piemērs: Vienādsānu trīsstūris

10. piemērs: Būvlaukuma trīsstūris

Kopsavilkums

Novērtējiet Šo Kalkulatoru

Kā lietot

Bieži uzdotie jautājumi

Saistītie rīki

Par šo rīku

Trīsstūra Kalkulators

Trīsstūra Risinātājs

Kas ir trīsstūris?

Trīsstūra apzīmējumi

📏 Trīsstūra mediānas

⭕ Ievilktā apļa rādiuss (Inradius)

🔵 Apvilktā apļa rādiuss (Circumradius)

💡 Interesanti fakti par trīsstūriem

Sinusu teorēma

Kosinusu teorēma

Trīsstūra laukuma formula (Hērona formula)

Trīsstūra aprēķinu piemēri

1. piemērs: Vienādmalu trīsstūris

2. piemērs: SSS – trīs zināmas malas

3. piemērs: SAS – divas malas un leņķis starp tām

4. piemērs: Kalna augstuma aprēķināšana

5. piemērs: Jumta kopnes dizains

6. piemērs: ASA – divi leņķi un mala starp tiem

7. piemērs: Taisnleņķa trīsstūris (īpašs gadījums)

8. piemērs: Burāšanas navigācija

9. piemērs: Vienādsānu trīsstūris

10. piemērs: Būvlaukuma trīsstūris

Kopsavilkums

Novērtējiet Šo Kalkulatoru