Kvadratisk Ligningskalkulator

Løs kvadratiske ligninger, beregn diskriminanten, finn toppunktet og konverter til faktorisert form med vår gratis kvadratiske ligningskalkulator

Tilgjengelige Kalkulatorer

Hva er en Kvadratisk Ligning?

En kvadratisk ligning er en polynomligning av grad 2, typisk skrevet som ax² + bx + c = 0, der a, b og c er koeffisienter og a ≠ 0. Kvadratiske ligninger er grunnleggende i algebra og opptrer i mange virkelige applikasjoner, fra fysikk til økonomi.

Kvadratisk Formel

Den kvadratiske formelen brukes til å løse kvadratiske ligninger:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminant

Diskriminanten (Δ = b² - 4ac) bestemmer røttenes natur: hvis Δ > 0, er det to forskjellige reelle røtter; hvis Δ = 0, er det én gjentatt reell rot; hvis Δ < 0, er det to komplekse røtter.

Eksempler på Kvadratiske Beregninger

Her er flere hverdagslige situasjoner som viser hvor enkelt det er å bruke vår kvadratiske ligningskalkulator.

Eksempel 1: Løs x² - 5x + 6 = 0

Løs den kvadratiske ligningen x² - 5x + 6 = 0.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er røttene for x² - 5x + 6 = 0?

Kalkulatoren returnerer: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Den brukte formelen er:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Eksempel 2: Diskriminantanalyse

Beregn diskriminanten for x² + 4x + 4 = 0.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er diskriminanten for x² + 4x + 4 = 0?

Kalkulatoren returnerer: Δ = 0 (én gjentatt rot)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Siden Δ = 0, er det én gjentatt rot

Den brukte formelen er:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Eksempel 3: Finn Toppunktet

Finn toppunktet for parabelen y = x² - 4x + 3.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er toppunktet for y = x² - 4x + 3?

Kalkulatoren returnerer: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Toppunkt x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Toppunkt y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Toppunkt: (2, -1)

Den brukte formelen er:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Eksempel 4: Faktorisert Form

Konverter x² - 5x + 6 = 0 til faktorisert form.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er den faktoriserte formen for x² - 5x + 6?

Kalkulatoren returnerer: (x - 2)(x - 3)

Røtter: x = 2, x = 3
Faktorisert form: (x - 2)(x - 3)

Den brukte formelen er:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Eksempel 5: Norsk Sportprosjektil

En fotball sparkes oppover i en kamp på Ullevaal Stadion i Oslo. Finn når den treffer bakken ved å bruke h = -5t² + 15t = 0.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Når treffer ballen bakken?

Kalkulatoren returnerer: t = 0, t = 3 sekunder

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 eller t = 3 sekunder

Den brukte formelen er:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Eksempel 6: Arealproblem

Et rektangel har lengde x og bredde (10 - x). Finn x når arealet er 24.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er x når x(10 - x) = 24?

Kalkulatoren returnerer: x = 4 eller x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 eller x = 6

Den brukte formelen er:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Eksempel 7: Komplekse Røtter

Løs x² + 2x + 5 = 0.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er røttene for x² + 2x + 5 = 0?

Kalkulatoren returnerer: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Siden Δ < 0, er røttene komplekse
x = -1 ± 2i

Den brukte formelen er:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Eksempel 8: Maksimal Profit Norsk Bedrift

En norsk bedrift ønsker å finne prisen som maksimaliserer profitten: P = -2p² + 40p - 100, der p er i kroner.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hvilken pris i kr maksimaliserer profitten?

Kalkulatoren returnerer: p = 10 kr

Toppunkt x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maksimal profit ved p = 10 kr

Den brukte formelen er:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Eksempel 9: Perfekt Kvadrat

Løs x² - 6x + 9 = 0.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er roten for x² - 6x + 9 = 0?

Kalkulatoren returnerer: x = 3 (gjentatt)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (gjentatt rot)

Den brukte formelen er:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Eksempel 10: Faktorisering

Konverter 2x² - 8x + 6 = 0 til faktorisert form.

Du kan bruke vår kalkulator ved å skrive inn:

Hva er den faktoriserte formen for 2x² - 8x + 6?

Kalkulatoren returnerer: 2(x - 1)(x - 3)

Røtter: x = 1, x = 3
Faktorisert form: 2(x - 1)(x - 3)

Den brukte formelen er:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Sammendrag

Disse eksemplene viser hvordan vår kvadratiske ligningskalkulator kan håndtere:

  • •Løsning av kvadratiske ligninger (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Beregning av diskriminanter (Δ = b² - 4ac)
  • •Finne toppunkter for parabler
  • •Konvertering til faktorisert form

Du kan tilpasse enhver virkelig situasjon som involverer kvadratiske ligninger til et av disse mønstrene og la kalkulatoren gjøre arbeidet for deg.

Hvordan Bruke

  1. Skriv inn koeffisientene a, b og c for den kvadratiske ligningen ax² + bx + c = 0.
  2. Velg typen beregning du trenger (løs, diskriminant, toppunkt eller faktorisert form).
  3. Se resultatet og trinn-for-trinn forklaring av beregningen.

Ofte stilte spørsmål

Hva er den kvadratiske formelen?

Den kvadratiske formelen er x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, brukes til å løse kvadratiske ligninger av formen ax² + bx + c = 0.

Hva er diskriminanten?

Diskriminanten (Δ = b² - 4ac) bestemmer røttenes natur: hvis Δ > 0, er det to reelle røtter; hvis Δ = 0, én gjentatt rot; hvis Δ < 0, to komplekse røtter.

Relaterte verktøy

Om verktøyet

Publisert av Online Tools Center

Sist oppdatert:

Kontroller enheter, forutsetninger og avrunding før du bruker et resultat. Helse- og økonomiske anslag er til informasjon og erstatter ikke individuell faglig rådgivning.

Har du funnet en feil? Send navnet på verktøyet, inndataene og forventet og faktisk resultat, slik at vi kan undersøke det.

Rapporter et problem