Kalkulator Równań Kwadratowych

Rozwiązuj równania kwadratowe, obliczaj wyróżnik, znajdź wierzchołek i konwertuj na postać iloczynową za pomocą naszego darmowego kalkulatora równań kwadratowych

Dostępne Kalkulatory

Co to jest Równanie Kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe stopnia 2, zwykle zapisane jako ax² + bx + c = 0, gdzie a, b i c są współczynnikami i a ≠ 0. Równania kwadratowe są fundamentalne w algebrze i pojawiają się w wielu rzeczywistych zastosowaniach, od fizyki po ekonomię.

Wzór Kwadratowy

Wzór kwadratowy jest używany do rozwiązywania równań kwadratowych:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Wyróżnik

Wyróżnik (Δ = b² - 4ac) określa naturę pierwiastków: jeśli Δ > 0, istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste; jeśli Δ = 0, istnieje jeden powtarzający się pierwiastek rzeczywisty; jeśli Δ < 0, istnieją dwa pierwiastki zespolone.

Przykłady Obliczeń Kwadratowych

Oto kilka codziennych sytuacji, które pokazują, jak łatwo jest używać naszego kalkulatora równań kwadratowych.

Przykład 1: Rozwiąż x² - 5x + 6 = 0

Rozwiąż równanie kwadratowe x² - 5x + 6 = 0.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jakie są pierwiastki x² - 5x + 6 = 0?

Kalkulator zwraca: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Używany wzór to:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Przykład 2: Analiza Wyróżnika

Oblicz wyróżnik równania x² + 4x + 4 = 0.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaki jest wyróżnik x² + 4x + 4 = 0?

Kalkulator zwraca: Δ = 0 (jeden powtarzający się pierwiastek)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Ponieważ Δ = 0, istnieje jeden powtarzający się pierwiastek

Używany wzór to:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Przykład 3: Znajdź Wierzchołek

Znajdź wierzchołek paraboli y = x² - 4x + 3.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaki jest wierzchołek y = x² - 4x + 3?

Kalkulator zwraca: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Wierzchołek x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Wierzchołek y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Wierzchołek: (2, -1)

Używany wzór to:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Przykład 4: Postać Iloczynowa

Konwertuj x² - 5x + 6 = 0 na postać iloczynową.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaka jest postać iloczynowa x² - 5x + 6?

Kalkulator zwraca: (x - 2)(x - 3)

Pierwiastki: x = 2, x = 3
Postać iloczynowa: (x - 2)(x - 3)

Używany wzór to:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Przykład 5: Polski Pocisk Sportowy

Piłka nożna jest kopnięta do góry w meczu na Stadionie Narodowym w Warszawie. Znajdź, kiedy dotknie ziemi używając h = -5t² + 15t = 0.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Kiedy piłka dotknie ziemi?

Kalkulator zwraca: t = 0, t = 3 sekundy

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 lub t = 3 sekundy

Używany wzór to:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Przykład 6: Problem z Powierzchnią

Prostokąt ma długość x i szerokość (10 - x). Znajdź x, gdy powierzchnia wynosi 24.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Ile wynosi x, gdy x(10 - x) = 24?

Kalkulator zwraca: x = 4 lub x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 lub x = 6

Używany wzór to:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Przykład 7: Pierwiastki Zespolone

Rozwiąż x² + 2x + 5 = 0.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jakie są pierwiastki x² + 2x + 5 = 0?

Kalkulator zwraca: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Ponieważ Δ < 0, pierwiastki są zespolone
x = -1 ± 2i

Używany wzór to:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Przykład 8: Maksymalny Zysk Polskiej Firmy

Polska firma chce znaleźć cenę, która maksymalizuje zysk: P = -2p² + 40p - 100, gdzie p jest w złotych.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaka cena w zł maksymalizuje zysk?

Kalkulator zwraca: p = 10 zł

Wierzchołek x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maksymalny zysk przy p = 10 zł

Używany wzór to:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Przykład 9: Idealny Kwadrat

Rozwiąż x² - 6x + 9 = 0.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaki jest pierwiastek x² - 6x + 9 = 0?

Kalkulator zwraca: x = 3 (powtarzający się)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (powtarzający się pierwiastek)

Używany wzór to:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Przykład 10: Faktoryzacja

Konwertuj 2x² - 8x + 6 = 0 na postać iloczynową.

Możesz użyć naszego kalkulatora wprowadzając:

Jaka jest postać iloczynowa 2x² - 8x + 6?

Kalkulator zwraca: 2(x - 1)(x - 3)

Pierwiastki: x = 1, x = 3
Postać iloczynowa: 2(x - 1)(x - 3)

Używany wzór to:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Podsumowanie

Te przykłady pokazują, jak nasz kalkulator równań kwadratowych może obsłużyć:

  • •Rozwiązywanie równań kwadratowych (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Obliczanie wyróżników (Δ = b² - 4ac)
  • •Znajdowanie wierzchołków paraboli
  • •Konwersję na postać iloczynową

Możesz dostosować dowolną rzeczywistą sytuację związaną z równaniami kwadratowymi do jednego z tych wzorców i pozwolić kalkulatorowi wykonać pracę za Ciebie.

Jak Używać

  1. Wprowadź współczynniki a, b i c równania kwadratowego ax² + bx + c = 0.
  2. Wybierz typ obliczenia, którego potrzebujesz (rozwiąż, wyróżnik, wierzchołek lub postać iloczynowa).
  3. Zobacz wynik i szczegółowe wyjaśnienie obliczeń krok po kroku.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest wzór kwadratowy?

Wzór kwadratowy to x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, używany do rozwiązywania równań kwadratowych postaci ax² + bx + c = 0.

Co to jest wyróżnik?

Wyróżnik (Δ = b² - 4ac) określa naturę pierwiastków: jeśli Δ > 0, istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste; jeśli Δ = 0, jeden powtarzający się pierwiastek; jeśli Δ < 0, dwa pierwiastki zespolone.

Powiązane narzędzia

O tym narzędziu

Opublikowane przez Online Tools Center

Ostatnia aktualizacja:

Przed użyciem wyniku sprawdź jednostki, założenia i zaokrąglenia. Szacunki dotyczące zdrowia i finansów służą celom edukacyjnym i nie zastępują indywidualnej porady specjalisty.

Znalazłeś błąd? Prześlij nazwę narzędzia, wprowadzone dane oraz oczekiwany i otrzymany wynik, abyśmy mogli to sprawdzić.

Zgłoś problem