Kalkulator Trójkątów

Rozwiąż dowolny trójkąt, używając metod SSS, SAS, ASA, AAS i SSA. Oblicz boki, kąty, pole, obwód, wysokości, środkowe i wiele więcej.

Rozwiązywanie Trójkątów

Jednostka Kąta:

Co to jest trójkąt?

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach, trzech wierzchołkach i trzech kątach. Suma wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie zawsze wynosi 180° (lub π radianów). Trójkąty można klasyfikować ze względu na boki (równoboczny, równoramienny, różnoboczny) lub kąty (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny). Nasz kalkulator trójkątów pozwala rozwiązać dowolny trójkąt, podając co najmniej trzy parametry: trzy boki (SSS), dwa boki i kąt między nimi (SAS), dwa kąty i jeden bok (ASA lub AAS) lub dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich (SSA - przypadek niejednoznaczny).

Oznaczenia Trójkąta

W naszym kalkulatorze trójkątów używamy standardowych oznaczeń, gdzie boki i kąty są ze sobą powiązane w następujący sposób:

Bok a leży naprzeciw kąta A (α)
Bok b leży naprzeciw kąta B (β)
Bok c leży naprzeciw kąta C (γ)

Suma kątów A + B + C zawsze wynosi 180° (lub π radianów).

📏 Środkowe Trójkąta

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie nazywanym środkiem ciężkości (centroidem).

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, przy czym dłuższy odcinek znajduje się bliżej wierzchołka.

⭕ Promień Okręgu Wpisanego (Inradius)

Promień r to promień okręgu wpisanego, czyli największego koła, które mieści się wewnątrz trójkąta.

Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych.

🔵 Promień Okręgu Opisanego (Circumradius)

Promień R to promień okręgu opisanego, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.

Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta.

💡 Ciekawostki o Trójkątach

• Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku (Nierówność Trójkąta).
• Suma kątów wewnętrznych trójkąta zawsze wynosi 180 stopni.
• Najdłuższy bok leży zawsze naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok naprzeciw najmniejszego kąta.
• Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
• Środek ciężkości (centroid) jest punktem równowagi trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego.

Twierdzenie Sinusów

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały dla wszystkich trzech boków i kątów. Jest ono szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu trójkątów, gdy znamy dwa kąty i jeden bok (ASA lub AAS) lub dwa boki i kąt (SSA).

Twierdzenie Cosinusów

Twierdzenie cosinusów wiąże długości boków trójkąta z cosinusem jednego z jego kątów. Jest przydatne do rozwiązywania trójkątów, gdy znamy trzy boki (SSS) lub dwa boki i kąt między nimi (SAS). To twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.

Wzór na pole trójkąta (Wzór Herona)

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znamy wszystkie trzy boki. Najpierw oblicz połowę obwodu s = (a + b + c)/2, a następnie użyj poniższego wzoru. Jest to jeden z najelegantszych wzorów w geometrii.

Przykłady obliczeń trójkątów

Przykład 1: Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki równe 15 metrów. Znajdź wszystkie kąty i pole.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Jakie są kąty i pole trójkąta równobocznego o bokach 15 metrów?

Kalkulator zwraca:

Wszystkie kąty wynoszą 60° (π/3 radianów), Pole = 97,428 m²

Solution Steps:

Dane: Wszystkie boki a = b = c = 15 metrów

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe

Każdy kąt = 180° / 3 = 60° = π/3 radianów

Zastosowanie wzoru na pole: Pole = (√3/4) × 15² = 97,428 m²

Zastosowany wzór:

Przykład 2: SSS - Znane trzy boki

Trójkąt ma boki równe 15 cm, 20 cm i 25 cm. Znajdź wszystkie kąty i pole.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Rozwiąż trójkąt o bokach a = 15, b = 20, c = 25.

Kalkulator zwraca:

∠A = 36,87°, ∠B = 53,13°, ∠C = 90,00°, Pole = 150,00 cm²

Solution Steps:

Dane: a = 15, b = 20, c = 25

Zastosowanie twierdzenia cosinusów: cos C = (15² + 20² - 25²) / (2×15×20) = 0

C = arccos(0) = 90,00° (Trójkąt prostokątny)

Podobnie znajdź A ≈ 36,87° oraz B ≈ 53,13°

Pole za pomocą wzoru Herona (lub 1/2*a*b) = 150,00 cm²

Zastosowany wzór:

Przykład 3: SAS - Dwa boki i kąt między nimi

Geodeta mierzy dwa boki trójkątnej działki jako 50 m i 60 m, a kąt między nimi to 45°. Znajdź trzeci bok.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Dane boki a = 50 m, b = 60 m oraz kąt C = 45°, znajdź bok c.

Kalkulator zwraca:

c ≈ 43,10 metra

Solution Steps:

Dane: a = 50, b = 60, C = 45°

Zastosowanie twierdzenia cosinusów: c² = 50² + 60² - 2(50)(60)cos(45°)

c² = 2500 + 3600 - 6000(0,7071) = 6100 - 4242,6 = 1857,4

c = √1857,4 ≈ 43,10 metra

Zastosowany wzór:

Przykład 4: Obliczanie wysokości góry

Z punktu oddalonego o 1000 metrów od podstawy góry kąt wzniesienia szczytu wynosi 15°. Jeśli obserwator znajduje się na poziomie gruntu, jak wysoka jest góra?

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Znajdź wysokość, gdy odległość pozioma = 1000 m, a kąt = 15°.

Kalkulator zwraca:

Wysokość ≈ 267,9 metra

Solution Steps:

Dane: odległość pozioma = 1000 m, kąt wzniesienia = 15°

Zastosowanie trygonometrii trójkąta prostokątnego: tan(15°) = wysokość / 1000

wysokość = 1000 × tan(15°) ≈ 1000 × 0,2679

wysokość ≈ 267,9 metra

Zastosowany wzór:

Przykład 5: Projektowanie wiązara dachowego

Wiązar dachowy ma belkę poziomą o długości 20 metrów. Dwie belki skośne spotykają się w szczycie 10 metrów powyżej środka. Znajdź długość każdej belki skośnej.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Znajdź długość belki skośnej przy podstawie = 10 m (połowa z 20) i wysokości = 10 m.

Kalkulator zwraca:

Każda belka skośna ≈ 14,14 metra

Solution Steps:

Połowa podstawy = 20/2 = 10 metrów

Wysokość = 10 metrów

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: s² = 10² + 10²

s² = 100 + 100 = 200

s = √200 ≈ 14,14 metra

Zastosowany wzór:

Przykład 6: ASA - Dwa kąty i bok między nimi

Podczas pomiarów dwa kąty trójkątnej kwatery wynoszą 35° i 80°, a bok między nimi ma 55 metrów. Znajdź pozostałe dwa boki.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Dane ∠A = 35°, ∠C = 80°, b = 55 m, znajdź boki a i c.

Kalkulator zwraca:

a ≈ 34,70 m, c ≈ 59,51 m

Solution Steps:

Dane: ∠A = 35°, ∠C = 80°, b = 55 m

Oblicz kąt ∠B = 180° - 35° - 80° = 65°

Zastosowanie twierdzenia sinusów: a/sin(35°) = 55/sin(65°)

a = 55 × sin(35°) / sin(65°) ≈ 34,70 m

Podobnie c ≈ 59,51 m

Zastosowany wzór:

Przykład 7: Trójkąt prostokątny (przypadek szczególny)

Trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną równą 24 cm i przeciwprostokątną równą 40 cm. Znajdź drugą przyprostokątną i wszystkie kąty.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Dane: jedna przyprostokątna = 24 cm, przeciwprostokątna = 40 cm, jeden kąt = 90°.

Kalkulator zwraca:

Druga przyprostokątna = 32 cm, kąty ≈ 36,87° i 53,13°

Solution Steps:

Dane: a = 24, c = 40, ∠C = 90°

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: b² = c² - a² = 1600 - 576 = 1024

b = 32 cm

∠A = arcsin(24/40) ≈ 36,87°

∠B = 90° - 36,87° ≈ 53,13°

Zastosowany wzór:

Przykład 8: Nawigacja żeglarska

Jacht przepłynął 25 mil morskich na wschód, następnie zmienił kurs o 95° i przepłynął 35 mil morskich. Jak daleko znajduje się od punktu początkowego?

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Znajdź odległość od startu przy bokach 25, 35 i kącie między nimi 85° (180° - 95°).

Kalkulator zwraca:

Odległość ≈ 41,20 mil morskich

Solution Steps:

Kąt wewnątrz trójkąta = 180° - 95° = 85°

Zastosowanie twierdzenia cosinusów: d² = 25² + 35² - 2(25)(35)cos(85°)

d² = 625 + 1225 - 1750(0,0871) = 1850 - 152,4 = 1697,6

d = √1697,6 ≈ 41,20 mil morskich

Zastosowany wzór:

Przykład 9: Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki o długości 22 cm i podstawę rwną 16 cm. Znajdź kąty i pole.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Dane: dwa boki = 22 cm, podstawa = 16 cm, znajdź kąty i pole.

Kalkulator zwraca:

Kąty przy podstawie ≈ 68,68°, kąt wierzchołkowy ≈ 42,65°, Pole ≈ 164,57 cm²

Solution Steps:

Dane: a = c = 22, b = 16

Wysokość spuszczona na podstawę: h = √(22² - 8²) = √420 ≈ 20,49

Pole = (1/2) × podstawa × wysokość = (1/2) × 16 × 20,49 ≈ 163,92 cm²

Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla kątów

Kąty przy podstawie ≈ 68,68°, kąt wierzchołkowy ≈ 42,65°

Zastosowany wzór:

Przykład 10: Teren budowy

Plac budowy ma kształt trójkąta o narożnikach w odległościach 130 m, 150 m i 170 m od siebie. Oblicz pole powierzchni dla planowania wykopów.

Możesz użyć naszego kalkulatora, wprowadzając:

Znajdź pole trójkąta o bokach 130 m, 150 m, 170 m.

Kalkulator zwraca:

Pole ≈ 9338,09 m²

Solution Steps:

Dane: a = 130, b = 150, c = 170

Połowa obwodu: s = (130 + 150 + 170) / 2 = 225

Zastosowanie wzoru Herona: Pole = √(225 × 95 × 75 × 55)

Pole = √(88 171 875) ≈ 9389,99 m²

Zastosowany wzór:

Podsumowanie

Te przykłady pokazują, jak nasz kalkulator trójkątów radzi sobie z:

•Rozwiązywaniem trójkątów o trzech znanych bokach (SSS)
•Rozwiązywaniem trójkątów o dwóch bokach i kącie między nimi (SAS)
•Rozwiązywaniem trójkątów o dwóch kątach i boku (ASA, AAS)
•Obliczaniem pola, obwodu, wysokości i środkowych

Możesz dopasować każdą rzeczywistą sytuację obejmującą trójkąty do jednego z tych wzorców i pozwolić kalkulatorowi wykonać pracę za Ciebie.

Oceń Ten Kalkulator

Jak używać

Wprowadź co najmniej 3 wartości (boki lub kąty) w polach wejściowych wokół schematu trójkąta.
Wybierz preferowaną jednostkę kąta (stopnie lub radiany) z menu rozwijanego.
Kliknij Oblicz, aby rozwiązać trójkąt i wyświetlić wszystkie wymiary, pole powierzchni, obwód i inne dane.

Najczęściej zadawane pytania

Jakie metody może wykorzystać ten kalkulator do rozwiązywania trójkątów?

Ten kalkulator może rozwiązywać trójkąty metodami BBB (trzy boki), BKB (dwa boki i kąt między nimi), KBK (dwa kąty i bok między nimi), KKB (dwa kąty i bok) oraz BBK (dwa boki i kąt nie zawarty między nimi).

Jaka jest różnica między stopniami a radianami?

Stopnie i radiany to dwa sposoby pomiaru kątów. Pełne koło to 360° lub 2π radianów. Aby przeliczyć: stopnie = radiany × (180/π), radiany = stopnie × (π/180).

O tym narzędziu

Opublikowane przez Online Tools Center

Ostatnia aktualizacja: 30 września 2026

Przed użyciem wyniku sprawdź jednostki, założenia i zaokrąglenia. Szacunki dotyczące zdrowia i finansów służą celom edukacyjnym i nie zastępują indywidualnej porady specjalisty.

Znalazłeś błąd? Prześlij nazwę narzędzia, wprowadzone dane oraz oczekiwany i otrzymany wynik, abyśmy mogli to sprawdzić.

Zgłoś problem

Co to jest trójkąt?

Oznaczenia Trójkąta

W naszym kalkulatorze trójkątów używamy standardowych oznaczeń, gdzie boki i kąty są ze sobą powiązane w następujący sposób:

Bok a leży naprzeciw kąta A (α)
Bok b leży naprzeciw kąta B (β)
Bok c leży naprzeciw kąta C (γ)

Suma kątów A + B + C zawsze wynosi 180° (lub π radianów).

📏 Środkowe Trójkąta

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, przy czym dłuższy odcinek znajduje się bliżej wierzchołka.

⭕ Promień Okręgu Wpisanego (Inradius)

Promień r to promień okręgu wpisanego, czyli największego koła, które mieści się wewnątrz trójkąta.

Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych.

🔵 Promień Okręgu Opisanego (Circumradius)

Promień R to promień okręgu opisanego, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.

Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta.

💡 Ciekawostki o Trójkątach

• Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku (Nierówność Trójkąta).
• Suma kątów wewnętrznych trójkąta zawsze wynosi 180 stopni.
• Najdłuższy bok leży zawsze naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok naprzeciw najmniejszego kąta.
• Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
• Środek ciężkości (centroid) jest punktem równowagi trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego.

Kalkulator Trójkątów

Rozwiązywanie Trójkątów

Co to jest trójkąt?

Oznaczenia Trójkąta

📏 Środkowe Trójkąta

⭕ Promień Okręgu Wpisanego (Inradius)

🔵 Promień Okręgu Opisanego (Circumradius)

💡 Ciekawostki o Trójkątach

Twierdzenie Sinusów

Twierdzenie Cosinusów

Wzór na pole trójkąta (Wzór Herona)

Przykłady obliczeń trójkątów

Przykład 1: Trójkąt równoboczny

Przykład 2: SSS - Znane trzy boki

Przykład 3: SAS - Dwa boki i kąt między nimi

Przykład 4: Obliczanie wysokości góry

Przykład 5: Projektowanie wiązara dachowego

Przykład 6: ASA - Dwa kąty i bok między nimi

Przykład 7: Trójkąt prostokątny (przypadek szczególny)

Przykład 8: Nawigacja żeglarska

Przykład 9: Trójkąt równoramienny

Przykład 10: Teren budowy

Podsumowanie

Oceń Ten Kalkulator

Jak używać

Najczęściej zadawane pytania

Powiązane narzędzia

O tym narzędziu

Kalkulator Trójkątów

Rozwiązywanie Trójkątów

Co to jest trójkąt?

Oznaczenia Trójkąta

📏 Środkowe Trójkąta

⭕ Promień Okręgu Wpisanego (Inradius)

🔵 Promień Okręgu Opisanego (Circumradius)

💡 Ciekawostki o Trójkątach

Twierdzenie Sinusów

Twierdzenie Cosinusów

Wzór na pole trójkąta (Wzór Herona)

Przykłady obliczeń trójkątów

Przykład 1: Trójkąt równoboczny

Przykład 2: SSS - Znane trzy boki

Przykład 3: SAS - Dwa boki i kąt między nimi

Przykład 4: Obliczanie wysokości góry

Przykład 5: Projektowanie wiązara dachowego

Przykład 6: ASA - Dwa kąty i bok między nimi

Przykład 7: Trójkąt prostokątny (przypadek szczególny)

Przykład 8: Nawigacja żeglarska

Przykład 9: Trójkąt równoramienny

Przykład 10: Teren budowy

Podsumowanie

Oceń Ten Kalkulator