Introduceți cel puțin 3 valori (laturi sau unghiuri) în casetele de introducere din jurul diagramei triunghiului.
Selectați unitatea de unghi preferată (grade sau radiani) din meniul derulant.
Faceți clic pe Calculează pentru a rezolva triunghiul și a vedea toate măsurătorile, aria, perimetrul și multe altele.
Întrebări frecvente
Ce metode poate folosi acest calculator pentru a rezolva triunghiuri?
Acest calculator poate rezolva triunghiuri folosind metodele LLL (trei laturi), LUL (două laturi și unghiul inclus), ULU (două unghiuri și latura inclusă), UUL (două unghiuri și o latură) și LLU (două laturi și unghiul ne-inclus).
Care este diferența dintre grade și radiani?
Gradele și radianii sunt două moduri de a măsura unghiurile. Un cerc complet are 360° sau 2π radiani. Pentru a converti: grade = radiani × (180/π), radiani = grade × (π/180).
Verifică unitățile, ipotezele și rotunjirea înainte de a folosi un rezultat. Estimările medicale și financiare au scop educativ și nu înlocuiesc sfatul personalizat al unui specialist.
Ai găsit o eroare? Trimite numele instrumentului, datele introduse, rezultatul așteptat și cel obținut, ca să putem investiga.
Rezolvă orice triunghi folosind metodele LLL, LAL, ALA, AAL și LLA. Calculează laturile, unghiurile, aria, perimetrul, înălțimile, medianele și multe altele.
Rezolvitor de Triunghiuri
°
°
°
Ce este un triunghi?
Un triunghi este un poligon cu trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri. Suma tuturor unghiurilor interioare ale unui triunghi este întotdeauna egală cu 180° (sau π radiani). Triunghiurile pot fi clasificate după laturi (echilateral, isoscel, scalen) sau după unghiuri (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic). Calculatorul nostru de triunghiuri poate rezolva orice triunghi atunci când furnizați cel puțin trei măsurători: trei laturi (LLL), două laturi și unghiul cuprins (LAL), două unghiuri și o latură (ALA sau AAL) sau două laturi și unghiul opus uneia dintre ele (LLA - caz ambiguu).
Notația triunghiului
În calculatorul nostru de triunghiuri, folosim notația standard unde laturile și unghiurile sunt corelate după cum urmează:
Latura a este opusă unghiului A (α)
Latura b este opusă unghiului B (β)
Latura c este opusă unghiului C (γ)
Suma unghiurilor A + B + C este întotdeauna 180° (sau π radiani).
📏 Medianele triunghiului
O mediană a unui triunghi este un segment de dreaptă care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Fiecare triunghi are trei mediane, care se intersectează într-un singur punct numit centroid sau centru de greutate.
Centroidul împarte fiecare mediană în raportul 2:1, segmentul mai lung fiind situat lângă vârf.
⭕ Raza cercului înscris (Inradius)
Raza r este raza cercului înscris, care este cel mai mare cerc care poate încăpea în interiorul triunghiului.
r = (Arie ÷ s) (unde s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sArie(unde s=2a+b+c)
Centrul cercului înscris se numește centru înscris (incenter), unde se întâlnesc bisectoarele unghiurilor.
🔵 Raza cercului circumscris (Circumradius)
Raza R este raza cercului circumscris, care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului.
R = (abc ÷ (4 × Arie))
R=4×Arieabc
Centrul cercului circumscris se numește circumcentru (circumcenter), unde se întâlnesc mediatoarele laturilor.
💡 Curiozități despre triunghiuri
• Suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi trebuie să fie mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi (Inegalitatea Triunghiului).
• Suma unghiurilor interne ale unui triunghi este întotdeauna de 180 de grade.
• Cea mai mare latură este întotdeauna opusă celui mai mare unghi, iar cea mai mică latură este opusă celui mai mic unghi.
• Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente.
• Centroidul (intersecția medianelor) este centrul de greutate al triunghiului.
• Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este circumcentrul.
Teorema Sinusului
Teorema sinusului afirmă că raportul dintre lungimea unei laturi a unui triunghi și sinusul unghiului său opus este constant pentru toate cele trei laturi și unghiuri. Această lege este deosebit de utilă pentru rezolvarea triunghiurilor atunci când cunoașteți două unghiuri și o latură (ALA sau AAL) sau două laturi și un unghi opus uneia (LLA).
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Teorema Cosinusului
Teorema cosinusului corelează lungimile laturilor unui triunghi cu cosinusul unuia dintre unghiurile sale. Este utilă pentru rezolvarea triunghiurilor atunci când cunoașteți trei laturi (LLL) sau două laturi și unghiul cuprins (LAL). Această lege este o generalizare a teoremei lui Pitagora.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Formula Ariei Triunghiului (Formula lui Heron)
Formula lui Heron vă permite să calculați aria unui triunghi atunci când cunoașteți toate cele trei laturi. Mai întâi calculați semiperimetrul s = (a + b + c)/2, apoi utilizați formula de mai jos. Aceasta este una dintre cele mai elegante formule din geometrie.
Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) unde s = ((a+b+c) ÷ 2)
Area=s(s−a)(s−b)(s−c) unde s=2a+b+c
Exemple de calcule pentru triunghi
Exemplu 1: Triunghi echilateral
Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale cu 9 metri. Aflați toate unghiurile și aria.
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Care sunt unghiurile și aria unui triunghi echilateral cu laturile de 9 metri?
Calculatorul returnează:
Toate unghiurile sunt de 60° (π/3 radiani), Aria = 35,074 m²
Solution Steps:
Dat: Toate laturile a = b = c = 9 metri
Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt egale
Fiecare unghi = 180° / 3 = 60° = π/3 radiani
Utilizând formula ariei: Aria = (√3/4) × 9² = 35,074 m²
Formula utilizată este:
Area = (√(3) ÷ 4)a^2 = (√(3) ÷ 4)(9)^2 ≈ 35,074
Area=43a2=43(9)2≈35,074
Exemplu 2: LLL - Trei laturi cunoscute
Un triunghi are laturile de 8 cm, 10 cm și 12 cm. Aflați toate unghiurile și aria.
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Rezolvați un triunghi cu laturile a = 8, b = 10, c = 12.
Dintr-un punct situat la 650 de metri de baza unui munte, unghiul de elevație al vârfului este de 40°. Dacă observatorul se află la nivelul solului, cât de înalt este muntele?
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Aflați înălțimea când distanța orizontală = 650 m și unghiul = 40°.
Calculatorul returnează:
Înălțimea ≈ 545,4 metri
Solution Steps:
Dat: distanța orizontală = 650 m, unghiul de elevație = 40°
O fermă de acoperiș are o grindă orizontală de 12 metri. Cele două grinzi înclinate se întâlnesc într-un vârf la 4 metri deasupra centrului. Aflați lungimea fiecărei grinzi înclinate.
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Aflați lungimea grinzii înclinate cu baza = 6 m (jumătatea din 12) și înălțimea = 4 m.
Calculatorul returnează:
Fiecare grindă înclinată ≈ 7,21 metri
Solution Steps:
Jumătatea bazei = 12/2 = 6 metri
Înălțimea = 4 metri
Utilizând teorema lui Pitagora: s² = 6² + 4²
s² = 36 + 16 = 52
s = √52 ≈ 7,21 metri
Formula utilizată este:
s = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √(52) ≈ 7,21
s=62+42=36+16=52≈7,21
Exemplu 6: ALA - Două unghiuri și latura cuprinsă
În topografie, două unghiuri ale unei parcele triunghiulare sunt de 50° și 70°, iar latura dintre ele este de 45 de metri. Aflați celelalte două laturi.
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Date fiind ∠A = 50°, ∠C = 70°, b = 45 m, aflați laturile a și c.
O barcă cu pânze călătorește 14 mile marine spre est, apoi schimbă cursul cu 115° și călătorește 18 mile marine. Cât de departe este de punctul de plecare?
Puteți utiliza calculatorul nostru introducând:
Aflați distanța de la start cu laturile de 14, 18 și unghiul cuprins de 65° (180° - 115°).
Calculatorul returnează:
Distanța ≈ 17,29 mile marine
Solution Steps:
Unghiul dintre cele două traiectorii = 180° - 115° = 65°