Калькулятор Квадратных Уравнений

Решайте квадратные уравнения, вычисляйте дискриминант, находите вершину и преобразуйте в факторизованную форму с помощью нашего бесплатного калькулятора квадратных уравнений

Доступные Калькуляторы

Что такое Квадратное Уравнение?

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение степени 2, обычно записываемое как ax² + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты и a ≠ 0. Квадратные уравнения являются фундаментальными в алгебре и появляются во многих реальных приложениях, от физики до экономики.

Квадратная Формула

Квадратная формула используется для решения квадратных уравнений:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Дискриминант

Дискриминант (Δ = b² - 4ac) определяет природу корней: если Δ > 0, есть два различных действительных корня; если Δ = 0, есть один повторяющийся действительный корень; если Δ < 0, есть два комплексных корня.

Примеры Квадратных Вычислений

Вот несколько повседневных ситуаций, которые показывают, насколько легко использовать наш калькулятор квадратных уравнений.

Пример 1: Решить x² - 5x + 6 = 0

Решите квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Каковы корни x² - 5x + 6 = 0?

Калькулятор возвращает: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Используемая формула:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Пример 2: Анализ Дискриминанта

Вычислите дискриминант x² + 4x + 4 = 0.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Каков дискриминант x² + 4x + 4 = 0?

Калькулятор возвращает: Δ = 0 (один повторяющийся корень)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Поскольку Δ = 0, есть один повторяющийся корень

Используемая формула:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Пример 3: Найти Вершину

Найдите вершину параболы y = x² - 4x + 3.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Какая вершина y = x² - 4x + 3?

Калькулятор возвращает: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Вершина x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Вершина y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Вершина: (2, -1)

Используемая формула:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Пример 4: Факторизованная Форма

Преобразуйте x² - 5x + 6 = 0 в факторизованную форму.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Какова факторизованная форма x² - 5x + 6?

Калькулятор возвращает: (x - 2)(x - 3)

Корни: x = 2, x = 3
Факторизованная форма: (x - 2)(x - 3)

Используемая формула:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Пример 5: Российский Спортивный Снаряд

Футбольный мяч подброшен вверх в матче на стадионе Лужники в Москве. Найдите, когда он коснётся земли, используя h = -5t² + 15t = 0.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Когда мяч коснётся земли?

Калькулятор возвращает: t = 0, t = 3 секунды

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 или t = 3 секунды

Используемая формула:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Пример 6: Задача о Площади

Прямоугольник имеет длину x и ширину (10 - x). Найдите x, когда площадь равна 24.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Чему равно x, когда x(10 - x) = 24?

Калькулятор возвращает: x = 4 или x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 или x = 6

Используемая формула:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Пример 7: Комплексные Корни

Решите x² + 2x + 5 = 0.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Каковы корни x² + 2x + 5 = 0?

Калькулятор возвращает: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Поскольку Δ < 0, корни комплексные
x = -1 ± 2i

Используемая формула:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Пример 8: Максимальная Прибыль Российского Бизнеса

Российский бизнес хочет найти цену, которая максимизирует прибыль: P = -2p² + 40p - 100, где p в рублях.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Какая цена в ₽ максимизирует прибыль?

Калькулятор возвращает: p = 10 ₽

Вершина x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Максимальная прибыль при p = 10 ₽

Используемая формула:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Пример 9: Идеальный Квадрат

Решите x² - 6x + 9 = 0.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Каков корень x² - 6x + 9 = 0?

Калькулятор возвращает: x = 3 (повторяющийся)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (повторяющийся корень)

Используемая формула:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Пример 10: Факторизация

Преобразуйте 2x² - 8x + 6 = 0 в факторизованную форму.

Вы можете использовать наш калькулятор, введя:

Какова факторизованная форма 2x² - 8x + 6?

Калькулятор возвращает: 2(x - 1)(x - 3)

Корни: x = 1, x = 3
Факторизованная форма: 2(x - 1)(x - 3)

Используемая формула:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Резюме

Эти примеры показывают, как наш калькулятор квадратных уравнений может обрабатывать:

  • •Решение квадратных уравнений (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Вычисление дискриминантов (Δ = b² - 4ac)
  • •Поиск вершин парабол
  • •Преобразование в факторизованную форму

Вы можете адаптировать любую реальную ситуацию, связанную с квадратными уравнениями, к одному из этих шаблонов и позволить калькулятору выполнить работу за вас.

Как Использовать

  1. Введите коэффициенты a, b и c квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
  2. Выберите тип вычисления, который вам нужен (решить, дискриминант, вершина или факторизованная форма).
  3. Просмотрите результат и пошаговое объяснение вычисления.

Частые вопросы

Что такое квадратная формула?

Квадратная формула — это x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, используемая для решения квадратных уравнений вида ax² + bx + c = 0.

Что такое дискриминант?

Дискриминант (Δ = b² - 4ac) определяет природу корней: если Δ > 0, есть два действительных корня; если Δ = 0, один повторяющийся корень; если Δ < 0, два комплексных корня.

Связанные инструменты

Об этом инструменте

Опубликовано Online Tools Center

Последнее обновление:

Перед использованием результата проверьте единицы измерения, допущения и округление. Медицинские и финансовые оценки носят образовательный характер и не заменяют индивидуальную консультацию специалиста.

Нашли ошибку? Отправьте название инструмента, введённые данные, ожидаемый и фактический результат, чтобы мы могли проверить.

Сообщить о проблеме