Калькулятор Квадратних Рівнянь

Розв'язуйте квадратні рівняння, обчислюйте дискримінант, знаходьте вершину та перетворюйте на факторизовану форму за допомогою нашого безкоштовного калькулятора квадратних рівнянь

Доступні Калькулятори

Що таке Квадратне Рівняння?

Квадратне рівняння — це поліноміальне рівняння другого ступеня, зазвичай записане як ax² + bx + c = 0, де a, b і c — коефіцієнти і a ≠ 0. Квадратні рівняння є фундаментальними в алгебрі та з'являються в багатьох реальних застосуваннях, від фізики до економіки.

Квадратна Формула

Квадратна формула використовується для розв'язання квадратних рівнянь:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Дискримінант

Дискримінант (Δ = b² - 4ac) визначає природу коренів: якщо Δ > 0, є два різні дійсні корені; якщо Δ = 0, є один повторюваний дійсний корінь; якщо Δ < 0, є два комплексні корені.

Приклади Квадратних Обчислень

Ось кілька повсякденних ситуацій, які показують, наскільки легко використовувати наш калькулятор квадратних рівнянь.

Приклад 1: Розв'язати x² - 5x + 6 = 0

Розв'яжіть квадратне рівняння x² - 5x + 6 = 0.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Які корені x² - 5x + 6 = 0?

Калькулятор повертає: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Використана формула:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Приклад 2: Аналіз Дискримінанта

Обчисліть дискримінант x² + 4x + 4 = 0.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Який дискримінант x² + 4x + 4 = 0?

Калькулятор повертає: Δ = 0 (один повторюваний корінь)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Оскільки Δ = 0, є один повторюваний корінь

Використана формула:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Приклад 3: Знайти Вершину

Знайдіть вершину параболи y = x² - 4x + 3.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Яка вершина y = x² - 4x + 3?

Калькулятор повертає: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Вершина x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Вершина y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Вершина: (2, -1)

Використана формула:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Приклад 4: Факторизована Форма

Перетворіть x² - 5x + 6 = 0 на факторизовану форму.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Яка факторизована форма x² - 5x + 6?

Калькулятор повертає: (x - 2)(x - 3)

Корені: x = 2, x = 3
Факторизована форма: (x - 2)(x - 3)

Використана формула:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Приклад 5: Український Спортивний Снаряд

Футбольний м'яч підкинуто вгору в матчі на стадіоні Олімпійський у Києві. Знайдіть, коли він торкнеться землі, використовуючи h = -5t² + 15t = 0.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Коли м'яч торкнеться землі?

Калькулятор повертає: t = 0, t = 3 секунди

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 або t = 3 секунди

Використана формула:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Приклад 6: Задача про Площу

Прямокутник має довжину x і ширину (10 - x). Знайдіть x, коли площа дорівнює 24.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Чому дорівнює x, коли x(10 - x) = 24?

Калькулятор повертає: x = 4 або x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 або x = 6

Використана формула:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Приклад 7: Комплексні Корені

Розв'яжіть x² + 2x + 5 = 0.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Які корені x² + 2x + 5 = 0?

Калькулятор повертає: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Оскільки Δ < 0, корені комплексні
x = -1 ± 2i

Використана формула:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Приклад 8: Максимальний Прибуток Українського Бізнесу

Український бізнес хоче знайти ціну, яка максимізує прибуток: P = -2p² + 40p - 100, де p у гривнях.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Яка ціна в ₴ максимізує прибуток?

Калькулятор повертає: p = 10 ₴

Вершина x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Максимальний прибуток при p = 10 ₴

Використана формула:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Приклад 9: Ідеальний Квадрат

Розв'яжіть x² - 6x + 9 = 0.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Який корінь x² - 6x + 9 = 0?

Калькулятор повертає: x = 3 (повторюваний)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (повторюваний корінь)

Використана формула:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Приклад 10: Факторизація

Перетворіть 2x² - 8x + 6 = 0 на факторизовану форму.

Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:

Яка факторизована форма 2x² - 8x + 6?

Калькулятор повертає: 2(x - 1)(x - 3)

Корені: x = 1, x = 3
Факторизована форма: 2(x - 1)(x - 3)

Використана формула:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Резюме

Ці приклади показують, як наш калькулятор квадратних рівнянь може обробляти:

  • •Розв'язання квадратних рівнянь (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Обчислення дискримінантів (Δ = b² - 4ac)
  • •Пошук вершин парабол
  • •Перетворення на факторизовану форму

Ви можете адаптувати будь-яку реальну ситуацію, пов'язану з квадратними рівняннями, до одного з цих шаблонів і дозволити калькулятору виконати роботу за вас.

Як Використовувати

  1. Введіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.
  2. Виберіть тип обчислення, який вам потрібен (розв'язати, дискримінант, вершина або факторизована форма).
  3. Перегляньте результат та покрокове пояснення обчислення.

Поширені запитання

Що таке квадратна формула?

Квадратна формула — це x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, використовується для розв'язання квадратних рівнянь виду ax² + bx + c = 0.

Що таке дискримінант?

Дискримінант (Δ = b² - 4ac) визначає природу коренів: якщо Δ > 0, є два дійсні корені; якщо Δ = 0, один повторюваний корінь; якщо Δ < 0, два комплексні корені.

Пов’язані інструменти

Про цей інструмент

Опубліковано Online Tools Center

Останнє оновлення:

Перевірте одиниці вимірювання, припущення та округлення перед використанням результату. Медичні й фінансові оцінки мають освітній характер і не замінюють індивідуальної консультації фахівця.

Знайшли помилку? Надішліть назву інструмента, введені дані, очікуваний та отриманий результат, щоб ми могли перевірити.

Повідомити про проблему