حاسبة المثلثات

حل أي مثلث باستخدام طرق SSS، SAS، ASA، AAS، وSSA. احسب الأضلاع، الزوايا، المساحة، المحيط، الارتفاعات، المتوسطات، والمزيد.

حل المثلث

وحدة الزاوية:

ما هو المثلث؟

المثلث هو مضلع له ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس وثلاث زوايا. مجموع كل الزوايا الداخلية في المثلث يساوي دائمًا 180 درجة (أو π راديان). يمكن تصنيف المثلثات حسب أضلاعها (متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، مختلف الأضلاع) أو حسب زواياها (حاد، قائم، منفرج). يمكن لحاسبة المثلثات الخاصة بنا حل أي مثلث عندما تقدم ثلاثة قياسات على الأقل: ثلاثة أضلاع (SSS)، ضلعان والزاوية المحصورة (SAS)، زاويتان وضلع (ASA أو AAS)، أو ضلعان وزاوية غير محصورة (SSA - حالة غامضة).

رموز المثلث

نستخدم في حاسبة المثلثات الخاصة بنا رموزاً قياسية حيث ترتبط الأضلاع والزوايا على النحو التالي:

الضلع a يقابل الزاوية A (α)
الضلع b يقابل الزاوية B (β)
الضلع c يقابل الزاوية C (γ)

مجموع الزوايا A + B + C يساوي دائمًا 180 درجة (أو π راديان).

📏 متوسطات المثلث

متوسط المثلث هو قطعة مستقيمة تصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل. لكل مثلث ثلاثة متوسطات تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الثقل.

يقسم مركز الثقل كل متوسط بنسبة 2:1، حيث يقع الجزء الأطول بالقرب من الرأس.

⭕ نصف قطر الدائرة الداخلية (Inradius)

نصف قطر الدائرة الداخلية (r) هو نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المثلث، وهي أكبر دائرة يمكن وضعها بداخله.

يسمى مركز الدائرة الداخلية بالمركز الداخلي، حيث تلتقي منصفات الزوايا.

🔵 نصف قطر الدائرة الخارجية (Circumradius)

نصف قطر الدائرة الخارجية (R) هو نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث الثلاثة.

يسمى مركز الدائرة الخارجية بالمركز الخارجي، حيث تلتقي الأعمدة المنصفة للأضلاع.

💡 حقائق مثيرة عن المثلثات

• يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث (متباينة المثلث).
• مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو دائمًا 180 درجة.
• الضلع الأكبر يقابل دائمًا الزاوية الكبرى، والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.
• الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المقابلتين لها.
• مركز الثقل (نقطة تقاطع المتوسطات) هو مركز توازن المثلث.
• في المثلث قائم الزاوية، منتصف الوتر هو المركز الخارجي.

قانون الجيوب

ينص قانون الجيوب على أن نسبة طول ضلع المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة لجميع الأضلاع والزوايا الثلاث. هذا القانون مفيد بشكل خاص لحل المثلثات عندما تعرف زاويتين وضلعًا واحدًا (ASA أو AAS) أو ضلعين وزاوية غير محصورة (SSA).

قانون جيوب التمام

يربط قانون جيوب التمام أطوال أضلاع المثلث بجيب تمام إحدى زواياه. إنه مفيد لحل المثلثات عندما تعرف ثلاثة أضلاع (SSS) أو ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS). هذا القانون هو تعميم لنظرية فيثاغورس.

قانون مساحة المثلث (قاعدة هيرو)

تسمح لك قاعدة هيرو بحساب مساحة المثلث عندما تعرف جميع الأضلاع الثلاثة. احسب أولاً نصف المحيط s = (a + b + c)/2 ، ثم استخدم الصيغة أدناه. هذه واحدة من أجمل الصيغ في الهندسة.

أمثلة على حساب المثلثات

مثال 1: مثلث متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع جميع أضلاعه الثلاثة تساوي 14 مترًا. أوجد جميع الزوايا والمساحة.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

ما هي زوايا ومساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 14 مترًا؟

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

كل الزوايا 60 درجة (π/3 راديان)، المساحة = 84.870 م²

Solution Steps:

المعطيات: جميع الأضلاع a = b = c = 14 مترًا

في المثلث متساوي الأضلاع، جميع الزوايا متساوية

كل زاوية = 180 / 3 = 60 درجة = π/3 راديان

باستخدام قانون المساحة: المساحة = (√3/4) × 14² = 84.870 م²

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 2: SSS - معرفة ثلاثة أضلاع

مثلث أضلاعه 10 سم، 15 سم، و 20 سم. أوجد جميع الزوايا والمساحة.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

حل مثلث أضلاعه a = 10, b = 15, c = 20.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

∠A = 28.96°, ∠B = 46.57°, ∠C = 104.48°, المساحة = 72.62 سم²

Solution Steps:

المعطيات: a = 10, b = 15, c = 20

باستخدام قانون جيوب التمام: cos C = (10² + 15² - 20²) / (2×10×15) = -0.25

C = arccos(-0.25) ≈ 104.48°

وبالمثل نجد A ≈ 28.96° و B ≈ 46.57°

المساحة باستخدام قاعدة هيرو = 72.62 سم²

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 3: SAS - ضلعان والزاوية المحصورة

يقيس مساح الأراضي ضلعين في قطعة أرض مثلثية بـ 25 م و 35 م مع وجود زاوية 30 درجة بينهما. أوجد الضلع الثالث.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

باعتبار الأضلاع a = 25 م، b = 35 م، والزاوية C = 30 درجة، أوجد الضلع c.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

c ≈ 18.29 مترًا

Solution Steps:

المعطيات: a = 25, b = 35, C = 30°

باستخدام قانون جيوب التمام: c² = 25² + 35² - 2(25)(35)cos(30°)

c² = 625 + 1225 - 1750(0.866) = 1850 - 1515.5 = 334.5

c = √334.5 ≈ 18.29 مترًا

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 4: حساب ارتفاع الجبل

من نقطة تبعد 600 متر عن قاعدة الجبل، زاوية الارتفاع إلى القمة هي 40 درجة. إذا كان الراصد على مستوى الأرض، فما طول الجبل؟

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

أوجد الارتفاع عندما تكون المسافة الأفقية = 600 م والزاوية = 40 درجة.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

الارتفاع ≈ 503.5 مترًا

Solution Steps:

المعطيات: المسافة الأفقية = 600 م، زاوية الارتفاع = 40 درجة

باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم: tan(40°) = الارتفاع / 600

الارتفاع = 600 × tan(40°) ≈ 600 × 0.8391

الارتفاع ≈ 503.5 مترًا

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 5: تصميم دعامات السقف

تحتوي دعامة السقف على عارضة أفقية طولها 14 مترًا. تلتقي العارضتان المائلتان في قمة ترتفع 5 أمتار فوق المركز. أوجد طول كل عارضة مائلة.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

أوجد طول العارضة المائلة بقاعدة = 7 م (نصف الـ 14) وارتفاع = 5 أمتار.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

كل عارضة مائلة ≈ 8.60 مترًا

Solution Steps:

نصف القاعدة = 14 / 2 = 7 أمتار

الارتفاع = 5 أمتار

باستخدام نظرية فيثاغورس: s² = 7² + 5²

s² = 49 + 25 = 74

s = √74 ≈ 8.60 مترًا

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 6: ASA - زاويتان والضلع المحصور

في أعمال المساحة، تكون زاويتان في قطعة أرض مثلثية هما 40 درجة و 70 درجة، والضلع بينهما 60 مترًا. أوجد الضلعين الآخرين.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

باعتبار ∠A = 40°, ∠C = 70°, b = 60 م، أوجد الضلعين a و c.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

a ≈ 41.04 م، c ≈ 60.00 م

Solution Steps:

المعطيات: ∠A = 40°, ∠C = 70°, b = 60 م

أوجد ∠B = 180 - 40 - 70 = 70 درجة

باستخدام قانون الجيوب: a/sin(40°) = 60/sin(70°)

a = 60 × sin(40°) / sin(70°) ≈ 41.04 م

وبالمثل، c ≈ 60.00 م

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 7: المثلث القائم (حالة خاصة)

مثلث قائم له أحد الضلعين 9 سم والوتر 15 سم. أوجد الضلع الآخر وجميع الزوايا.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

المعطيات: ضلع واحد = 9 سم، الوتر = 15 سم، زاوية واحدة = 90 درجة.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

الضلع الآخر = 12 سم، الزوايا ≈ 36.87 درجة و 53.13 درجة

Solution Steps:

المعطيات: a = 9, c = 15, ∠C = 90°

باستخدام نظرية فيثاغورس: b² = c² - a² = 225 - 81 = 144

b = 12 سم

∠A = arcsin(9/15) ≈ 36.87°

∠B = 90 - 36.87 ≈ 53.13°

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 8: الملاحة الشراعية

يسافر مركب شراعي لمسافة 12 ميلًا بحريًا شرقًا، ثم يغير مساره 125 درجة ويسافر 18 ميلًا بحريًا. كم يبعد عن نقطة البداية؟

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

أوجد المسافة من البداية بأضلاع 12، 18 والزاوية المحصورة 55 درجة (180 - 125).

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

المسافة ≈ 14.93 ميلًا بحريًا

Solution Steps:

الزاوية بين المسارين = 180 - 125 = 55 درجة

باستخدام قانون جيوب التمام: d² = 12² + 18² - 2(12)(18)cos(55°)

d² = 144 + 324 - 432(0.5736) = 468 - 247.78 = 220.22

d = √220.22 ≈ 14.84 ميلًا بحريًا

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 9: مثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان بطول 18 سم وقاعدة 14 سم. أوجد الزوايا والمساحة.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

المعطيات: ضلعان = 18 سم، القاعدة = 14 سم، أوجد الزوايا والمساحة.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

زوايا القاعدة ≈ 67.11 درجة، زاوية الرأس ≈ 45.78 درجة، المساحة ≈ 116.03 سم²

Solution Steps:

المعطيات: a = c = 18, b = 14

الارتفاع من الرأس إلى القاعدة: h = √(18² - 7²) = √275 ≈ 16.58

المساحة = (1/2) × القاعدة × الارتفاع = (1/2) × 14 × 16.58 ≈ 116.06 سم²

استخدام قانون جيوب التمام للزوايا

زوايا القاعدة ≈ 67.11 درجة، زاوية الرأس ≈ 45.78 درجة

الصيغة المستخدمة هي:

مثال 10: مثلث موقع البناء

يشكل موقع البناء مثلثاً تقف أركانه على مسافات 80 م و 100 م و 120 م من بعضها البعض. احسب المساحة للتخطيط للحفر.

يمكنك استخدام الحاسبة الخاصة بنا عن طريق إدخال:

أوجد مساحة المثلث الذي أضلاعه 80 م، 100 م، 120 م.

الحاسبة تعطي النتائج التالية:

المساحة ≈ 3968.63 م²

Solution Steps:

المعطيات: a = 80, b = 100, c = 120

نصف المحيط: s = (80 + 100 + 120) / 2 = 150

باستخدام قاعدة هيرو: المساحة = √(150 × 70 × 50 × 30)

المساحة = √(15750000) ≈ 3968.63 م²

الصيغة المستخدمة هي:

ملخص

توضح هذه الأمثلة كيف يمكن لحاسبة المثلثات الخاصة بنا التعامل مع:

•حل المثلثات بثلاثة أضلاع معروفة (SSS)
•حل المثلثات بضلعين وزاوية محصورة (SAS)
•حل المثلثات بزاويتين وضلع (ASA, AAS)
•حساب المساحة والمحيط والارتفاعات والمتوسطات

يمكنك تكييف أي موقف واقعي يتضمن مثلثات مع أحد هذه الأنماط وترك الحاسبة تقوم بالعمل نيابة عنك.

قيم هذه الحاسبة

كيفية الاستخدام

أدخل 3 قيم على الأقل (أضلاع أو زوايا) في مربعات الإدخال حول مخطط المثلث.
اختر وحدة الزاوية المفضلة لديك (درجات أو راديان) من القائمة المنسدلة.
انقر فوق 'احسب' لحل المثلث وعرض جميع القياسات والمساحة والمحيط والمزيد.

الأسئلة الشائعة

ما هي الطرق التي يمكن أن يستخدمها هذا الحاسب لحل المثلثات؟

يمكن لهذه الحاسبة حل المثلثات باستخدام طرق SSS (ثلاثة أضلاع)، وSAS (ضلعان والزاوية المحصورة)، وASA (زاويتان والضلع المحصور)، وAAS (زاويتان وضلع)، وSSA (ضلعان وزاوية غير محصورة).

ما الفرق بين الدرجات والراديان؟

الدرجات والراديان طريقتان لقياس الزوايا. الدائرة الكاملة هي 360 درجة أو 2π راديان. للتحويل: الدرجات = الراديان × (180/π)، الراديان = الدرجات × (π/180).

عن هذه الأداة

نُشرت بواسطة Online Tools Center

آخر تحديث: ٣٠ سبتمبر ٢٠٢٦

تحقق من الوحدات والافتراضات والتقريب قبل استخدام النتيجة. التقديرات الصحية والمالية تعليمية ولا تحل محل الاستشارة المهنية الفردية.

وجدت خطأ؟ أرسل اسم الأداة والمدخلات والنتيجة المتوقعة والفعلية حتى نتمكن من التحقق.

الإبلاغ عن مشكلة

ما هو المثلث؟

رموز المثلث

نستخدم في حاسبة المثلثات الخاصة بنا رموزاً قياسية حيث ترتبط الأضلاع والزوايا على النحو التالي:

الضلع a يقابل الزاوية A (α)
الضلع b يقابل الزاوية B (β)
الضلع c يقابل الزاوية C (γ)

مجموع الزوايا A + B + C يساوي دائمًا 180 درجة (أو π راديان).

📏 متوسطات المثلث

يقسم مركز الثقل كل متوسط بنسبة 2:1، حيث يقع الجزء الأطول بالقرب من الرأس.

⭕ نصف قطر الدائرة الداخلية (Inradius)

نصف قطر الدائرة الداخلية (r) هو نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المثلث، وهي أكبر دائرة يمكن وضعها بداخله.

يسمى مركز الدائرة الداخلية بالمركز الداخلي، حيث تلتقي منصفات الزوايا.

🔵 نصف قطر الدائرة الخارجية (Circumradius)

نصف قطر الدائرة الخارجية (R) هو نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث الثلاثة.

يسمى مركز الدائرة الخارجية بالمركز الخارجي، حيث تلتقي الأعمدة المنصفة للأضلاع.

💡 حقائق مثيرة عن المثلثات

• يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث (متباينة المثلث).
• مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو دائمًا 180 درجة.
• الضلع الأكبر يقابل دائمًا الزاوية الكبرى، والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.
• الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المقابلتين لها.
• مركز الثقل (نقطة تقاطع المتوسطات) هو مركز توازن المثلث.
• في المثلث قائم الزاوية، منتصف الوتر هو المركز الخارجي.

حاسبة المثلثات

حل المثلث

ما هو المثلث؟

رموز المثلث

📏 متوسطات المثلث

⭕ نصف قطر الدائرة الداخلية (Inradius)

🔵 نصف قطر الدائرة الخارجية (Circumradius)

💡 حقائق مثيرة عن المثلثات

قانون الجيوب

قانون جيوب التمام

قانون مساحة المثلث (قاعدة هيرو)

أمثلة على حساب المثلثات

مثال 1: مثلث متساوي الأضلاع

مثال 2: SSS - معرفة ثلاثة أضلاع

مثال 3: SAS - ضلعان والزاوية المحصورة

مثال 4: حساب ارتفاع الجبل

مثال 5: تصميم دعامات السقف

مثال 6: ASA - زاويتان والضلع المحصور

مثال 7: المثلث القائم (حالة خاصة)

مثال 8: الملاحة الشراعية

مثال 9: مثلث متساوي الساقين

مثال 10: مثلث موقع البناء

ملخص

قيم هذه الحاسبة

كيفية الاستخدام

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

عن هذه الأداة

حاسبة المثلثات

حل المثلث

ما هو المثلث؟

رموز المثلث

📏 متوسطات المثلث

⭕ نصف قطر الدائرة الداخلية (Inradius)

🔵 نصف قطر الدائرة الخارجية (Circumradius)

💡 حقائق مثيرة عن المثلثات

قانون الجيوب

قانون جيوب التمام

قانون مساحة المثلث (قاعدة هيرو)

أمثلة على حساب المثلثات

مثال 1: مثلث متساوي الأضلاع

مثال 2: SSS - معرفة ثلاثة أضلاع

مثال 3: SAS - ضلعان والزاوية المحصورة

مثال 4: حساب ارتفاع الجبل

مثال 5: تصميم دعامات السقف

مثال 6: ASA - زاويتان والضلع المحصور

مثال 7: المثلث القائم (حالة خاصة)

مثال 8: الملاحة الشراعية

مثال 9: مثلث متساوي الساقين

مثال 10: مثلث موقع البناء

ملخص

قيم هذه الحاسبة