Kalkulačka Kvadratických Rovnic

Řešte kvadratické rovnice, vypočítejte diskriminant, najděte vrchol a převeďte na faktorizovaný tvar s naší bezplatnou kalkulačkou kvadratických rovnic

Dostupné Kalkulačky

Co je Kvadratická Rovnice?

Kvadratická rovnice je polynomiální rovnice 2. stupně, obvykle zapsaná jako ax² + bx + c = 0, kde a, b a c jsou koeficienty a a ≠ 0. Kvadratické rovnice jsou základní v algebře a objevují se v mnoha reálných aplikacích, od fyziky po ekonomii.

Kvadratický Vzorec

Kvadratický vzorec se používá k řešení kvadratických rovnic:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminant

Diskriminant (Δ = b² - 4ac) určuje povahu kořenů: pokud Δ > 0, existují dva různé reálné kořeny; pokud Δ = 0, existuje jeden opakovaný reálný kořen; pokud Δ < 0, existují dva komplexní kořeny.

Příklady Kvadratických Výpočtů

Zde je několik každodenních situací, které ukazují, jak snadné je použít naši kalkulačku kvadratických rovnic.

Příklad 1: Řešte x² - 5x + 6 = 0

Řešte kvadratickou rovnici x² - 5x + 6 = 0.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaké jsou kořeny x² - 5x + 6 = 0?

Kalkulačka vrací: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Použitý vzorec je:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Příklad 2: Analýza Diskriminantu

Vypočítejte diskriminant x² + 4x + 4 = 0.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaký je diskriminant x² + 4x + 4 = 0?

Kalkulačka vrací: Δ = 0 (jeden opakovaný kořen)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Protože Δ = 0, existuje jeden opakovaný kořen

Použitý vzorec je:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Příklad 3: Najděte Vrchol

Najděte vrchol paraboly y = x² - 4x + 3.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaký je vrchol y = x² - 4x + 3?

Kalkulačka vrací: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Vrchol x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Vrchol y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Vrchol: (2, -1)

Použitý vzorec je:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Příklad 4: Faktorizovaný Tvar

Převeďte x² - 5x + 6 = 0 na faktorizovaný tvar.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaký je faktorizovaný tvar x² - 5x + 6?

Kalkulačka vrací: (x - 2)(x - 3)

Kořeny: x = 2, x = 3
Faktorizovaný tvar: (x - 2)(x - 3)

Použitý vzorec je:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Příklad 5: Český Sportovní Projektil

Fotbalový míč je kopnut nahoru v zápase na stadionu Eden v Praze. Najděte, kdy se dotkne země pomocí h = -5t² + 15t = 0.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Kdy se míč dotkne země?

Kalkulačka vrací: t = 0, t = 3 sekundy

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 nebo t = 3 sekundy

Použitý vzorec je:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Příklad 6: Problém s Plochou

Obdélník má délku x a šířku (10 - x). Najděte x, když je plocha 24.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaké je x, když x(10 - x) = 24?

Kalkulačka vrací: x = 4 nebo x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 nebo x = 6

Použitý vzorec je:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Příklad 7: Komplexní Kořeny

Řešte x² + 2x + 5 = 0.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaké jsou kořeny x² + 2x + 5 = 0?

Kalkulačka vrací: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Protože Δ < 0, kořeny jsou komplexní
x = -1 ± 2i

Použitý vzorec je:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Příklad 8: Maximální Zisk Českého Podniku

Český podnik chce najít cenu, která maximalizuje zisk: P = -2p² + 40p - 100, kde p je v korunách.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaká cena v Kč maximalizuje zisk?

Kalkulačka vrací: p = 10 Kč

Vrchol x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maximální zisk při p = 10 Kč

Použitý vzorec je:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Příklad 9: Perfektní Čtverec

Řešte x² - 6x + 9 = 0.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaký je kořen x² - 6x + 9 = 0?

Kalkulačka vrací: x = 3 (opakovaný)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (opakovaný kořen)

Použitý vzorec je:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Příklad 10: Faktorizace

Převeďte 2x² - 8x + 6 = 0 na faktorizovaný tvar.

Můžete použít naši kalkulačku zadáním:

Jaký je faktorizovaný tvar 2x² - 8x + 6?

Kalkulačka vrací: 2(x - 1)(x - 3)

Kořeny: x = 1, x = 3
Faktorizovaný tvar: 2(x - 1)(x - 3)

Použitý vzorec je:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Shrnutí

Tyto příklady ukazují, jak naše kalkulačka kvadratických rovnic může zpracovat:

  • •Řešení kvadratických rovnic (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Výpočet diskriminantů (Δ = b² - 4ac)
  • •Hledání vrcholů parabol
  • •Převod na faktorizovaný tvar

Můžete přizpůsobit jakoukoli reálnou situaci zahrnující kvadratické rovnice jednomu z těchto vzorů a nechat kalkulačku udělat práci za vás.

Jak Použít

  1. Zadejte koeficienty a, b a c kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0.
  2. Vyberte typ výpočtu, který potřebujete (řešit, diskriminant, vrchol nebo faktorizovaný tvar).
  3. Zobrazte výsledek a krok-za-krokem vysvětlení výpočtu.

Často kladené otázky

Co je kvadratický vzorec?

Kvadratický vzorec je x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, používá se k řešení kvadratických rovnic tvaru ax² + bx + c = 0.

Co je diskriminant?

Diskriminant (Δ = b² - 4ac) určuje povahu kořenů: pokud Δ > 0, existují dva reálné kořeny; pokud Δ = 0, jeden opakovaný kořen; pokud Δ < 0, dva komplexní kořeny.

Související nástroje

O tomto nástroji

Publikoval Online Tools Center

Poslední aktualizace:

Před použitím výsledku ověřte jednotky, předpoklady a zaokrouhlení. Zdravotní a finanční odhady slouží ke vzdělávání a nenahrazují individuální odborné poradenství.

Našli jste chybu? Pošlete název nástroje, zadané údaje a očekávaný i skutečný výsledek, abychom mohli chybu prověřit.

Nahlásit problém