Kalkulator Kvadratnih Jednadžbi

Riješite kvadratne jednadžbe, izračunajte diskriminantu, pronađite vrh i pretvorite u faktorizirani oblik s našim besplatnim kalkulatorom kvadratnih jednadžbi

Dostupni Kalkulatori

Što je Kvadratna Jednadžba?

Kvadratna jednadžba je polinomna jednadžba 2. stupnja, obično zapisana kao ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c koeficijenti i a ≠ 0. Kvadratne jednadžbe su temeljne u algebri i pojavljuju se u mnogim stvarnim primjenama, od fizike do ekonomije.

Kvadratna Formula

Kvadratna formula se koristi za rješavanje kvadratnih jednadžbi:

x = ((-b ± √(b^2 - 4ac)) ÷ 2a)

Diskriminanta

Diskriminanta (Δ = b² - 4ac) određuje prirodu korijena: ako je Δ > 0, postoje dva različita realna korijena; ako je Δ = 0, postoji jedan ponovljeni realni korijen; ako je Δ < 0, postoje dva kompleksna korijena.

Primjeri Kvadratnih Izračuna

Evo nekoliko svakodnevnih situacija koje pokazuju koliko je lako koristiti naš kalkulator kvadratnih jednadžbi.

Primjer 1: Riješite x² - 5x + 6 = 0

Riješite kvadratnu jednadžbu x² - 5x + 6 = 0.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koje su korijene x² - 5x + 6 = 0?

Kalkulator vraća: x = 2, x = 3

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Korištena formula je:

x = ((5 ± √(25 - 24)) ÷ 2) = ((5 ± 1) ÷ 2)

Primjer 2: Analiza Diskriminante

Izračunajte diskriminantu x² + 4x + 4 = 0.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koja je diskriminanta x² + 4x + 4 = 0?

Kalkulator vraća: Δ = 0 (jedan ponovljeni korijen)

Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Budući da je Δ = 0, postoji jedan ponovljeni korijen

Korištena formula je:

Δ = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Primjer 3: Pronađite Vrh

Pronađite vrh parabole y = x² - 4x + 3.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koji je vrh y = x² - 4x + 3?

Kalkulator vraća: (2, -1)

a = 1, b = -4, c = 3
Vrh x = -b/(2a) = 4/2 = 2
Vrh y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Vrh: (2, -1)

Korištena formula je:

x = ((-(-4)) ÷ 2(1)) = 2, y = -1

Primjer 4: Faktorizirani Oblik

Pretvorite x² - 5x + 6 = 0 u faktorizirani oblik.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koji je faktorizirani oblik x² - 5x + 6?

Kalkulator vraća: (x - 2)(x - 3)

Korijeni: x = 2, x = 3
Faktorizirani oblik: (x - 2)(x - 3)

Korištena formula je:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Primjer 5: Hrvatski Sportski Projektil

Nogometna lopta je izbačena prema gore u utakmici na stadionu Maksimir u Zagrebu. Pronađite kada dodiruje tlo koristeći h = -5t² + 15t = 0.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Kada lopta dodiruje tlo?

Kalkulator vraća: t = 0, t = 3 sekunde

-5t² + 15t = 0
t(-5t + 15) = 0
t = 0 ili t = 3 sekunde

Korištena formula je:

-5t^2 + 15t = 0 t = 0, t = 3

Primjer 6: Problem Površine

Pravokutnik ima duljinu x i širinu (10 - x). Pronađite x kada je površina 24.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Što je x kada x(10 - x) = 24?

Kalkulator vraća: x = 4 ili x = 6

x(10 - x) = 24
10x - x² = 24
x² - 10x + 24 = 0
x = 4 ili x = 6

Korištena formula je:

x^2 - 10x + 24 = 0 x = 4, x = 6

Primjer 7: Kompleksni Korijeni

Riješite x² + 2x + 5 = 0.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koje su korijene x² + 2x + 5 = 0?

Kalkulator vraća: x = -1 ± 2i

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Budući da je Δ < 0, korijeni su kompleksni
x = -1 ± 2i

Korištena formula je:

x = ((-2 ± √(4 - 20)) ÷ 2) = -1 ± 2i

Primjer 8: Maksimalna Dobit Hrvatskog Poslovanja

Hrvatsko poslovanje želi pronaći cijenu koja maksimizira dobit: P = -2p² + 40p - 100, gdje je p u eurima.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koja cijena u € maksimizira dobit?

Kalkulator vraća: p = 10 €

Vrh x = -b/(2a) = -40/(2(-2)) = 10
Maksimalna dobit pri p = 10 €

Korištena formula je:

p = ((-40) ÷ (2(-2))) = 10

Primjer 9: Savršen Kvadrat

Riješite x² - 6x + 9 = 0.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koji je korijen x² - 6x + 9 = 0?

Kalkulator vraća: x = 3 (ponovljen)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²
x = 3 (ponovljeni korijen)

Korištena formula je:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0

Primjer 10: Faktorizacija

Pretvorite 2x² - 8x + 6 = 0 u faktorizirani oblik.

Možete koristiti naš kalkulator unosom:

Koji je faktorizirani oblik 2x² - 8x + 6?

Kalkulator vraća: 2(x - 1)(x - 3)

Korijeni: x = 1, x = 3
Faktorizirani oblik: 2(x - 1)(x - 3)

Korištena formula je:

2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)

Sažetak

Ovi primjeri pokazuju kako naš kalkulator kvadratnih jednadžbi može rukovati:

  • •Rješavanje kvadratnih jednadžbi (x² - 5x + 6 = 0)
  • •Izračunavanje diskriminanti (Δ = b² - 4ac)
  • •Pronalaženje vrhova parabola
  • •Pretvaranje u faktorizirani oblik

Možete prilagoditi bilo koju stvarnu situaciju koja uključuje kvadratne jednadžbe jednom od ovih uzoraka i pustiti kalkulator da obavi posao umjesto vas.

Kako Koristiti

  1. Unesite koeficijente a, b i c kvadratne jednadžbe ax² + bx + c = 0.
  2. Odaberite vrstu izračuna koja vam je potrebna (riješiti, diskriminanta, vrh ili faktorizirani oblik).
  3. Pogledajte rezultat i korak-po-korak objašnjenje izračuna.

Česta pitanja

Što je kvadratna formula?

Kvadratna formula je x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, koristi se za rješavanje kvadratnih jednadžbi oblika ax² + bx + c = 0.

Što je diskriminanta?

Diskriminanta (Δ = b² - 4ac) određuje prirodu korijena: ako je Δ > 0, postoje dva realna korijena; ako je Δ = 0, jedan ponovljeni korijen; ako je Δ < 0, dva kompleksna korijena.

Povezani alati

O ovom alatu

Objavio Online Tools Center

Posljednje ažuriranje:

Prije uporabe rezultata provjerite jedinice, pretpostavke i zaokruživanje. Zdravstvene i financijske procjene služe u obrazovne svrhe i ne zamjenjuju individualni stručni savjet.

Pronašli ste pogrešku? Pošaljite naziv alata, unesene podatke te očekivani i dobiveni rezultat kako bismo mogli provjeriti.

Prijavi problem