Введіть принаймні 3 значення (сторони або кути) у поля введення навколо діаграми трикутника.
Виберіть бажану одиницю вимірювання кута (градуси або радіани) з випадаючого меню.
Натисніть «Розрахувати», щоб розв’язати трикутник і переглянути всі вимірювання, площу, периметр тощо.
Поширені запитання
Які методи може використовувати цей калькулятор для розв’язування трикутників?
Цей калькулятор може розв’язувати трикутники за методами ССС (три сторони), СКУ (дві сторони та кут між ними), КУС (два кути та сторона між ними), ККС (два кути та сторона) та ССК (дві сторони та кут не між ними).
Яка різниця між градусами та радіанами?
Градуси та радіани — це два способи вимірювання кутів. Повне коло становить 360° або 2π радіан. Для перерахунку: градуси = радіани × (180/π), радіани = градуси × (π/180).
Перевірте одиниці вимірювання, припущення та округлення перед використанням результату. Медичні й фінансові оцінки мають освітній характер і не замінюють індивідуальної консультації фахівця.
Знайшли помилку? Надішліть назву інструмента, введені дані, очікуваний та отриманий результат, щоб ми могли перевірити.
Розв'язуйте будь-які трикутники за допомогою методів SSS (за трьома сторонами), SAS (за двома сторонами та кутом), ASA, AAS та SSA. Обчислюйте сторони, кути, площу, периметр, висоти, медіани та багато іншого.
Розв'язання Трикутника
°
°
°
Що таке трикутник?
Трикутник — це многокутник з трьома сторонами, трьома вершинами та трьома кутами. Сума всіх внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180° (або π радіан). Трикутники можна класифікувати за їхніми сторонами (рівносторонній, рівнобедрений, різносторонній) або за їхніми кутами (гострокутний, прямокутний, тупокутний). Наш калькулятор може розв'язати будь-який трикутник, якщо ви надасте принаймні три виміри: три сторони (SSS), дві сторони та кут між ними (SAS), два кути та сторону (ASA або AAS) або дві сторони та кут не між ними (SSA — неочевидний випадок).
Позначення у трикутнику
У нашому калькуляторі трикутників ми використовуємо стандартні позначення, де сторони та кути пов'язані наступним чином:
Сторона a лежить проти кута A (α)
Сторона b лежить проти кута B (β)
Сторона c лежить проти кута C (γ)
Сума кутів A + B + C завжди дорівнює 180° (або π радіан).
📏 Медіани трикутника
Медіана трикутника — це відрізок, що з'єднує вершину з серединою протилежної сторони. Кожен трикутник має три медіани, які перетинаються в одній точці, що називається центроїдом.
Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
⭕ Радіус вписаного кола (Inradius)
Радіус вписаного кола (r) — це радіус кола, вписаного в трикутник, яке є найбільшим колом, що може поміститися всередині трикутника.
r = (Площа ÷ s) (де s = ((a+b+c) ÷ 2))
r=sПлоща(деs=2a+b+c)
Центр вписаного кола називається інцентром, це точка перетину бісектрис кутів трикутника.
🔵 Радіус описаного кола (Circumradius)
Радіус описаного кола (R) — це радіус кола, що проходить через усі три вершини трикутника.
R = (abc ÷ (4 × Площа))
R=4×Площаabc
Центр описаного кола називається циркумцентром, це точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
💡 Цікаві факти про трикутники
• Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника має бути більшою за довжину третьої сторони (нерівність трикутника).
• Сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусам.
• Найбільша сторона завжди лежить проти найбільшого кута, а найменша сторона — проти найменшого кута.
• Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
• Центроїд (точка перетину медіан) є центром тяжіння трикутника.
• У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола.
Теорема синусів
Теорема синусів стверджує, що відношення довжини сторони трикутника до синуса протилежного їй кута є однаковим для всіх трьох сторін і кутів. Ця теорема особливо корисна для розв'язання трикутників, коли відомі два кути та одна сторона (ASA або AAS) або дві сторони та кут не між ними (SSA).
(a ÷ A) = (b ÷ B) = (c ÷ C)
sinAa=sinBb=sinCc
Теорема косинусів
Теорема косинусів пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Вона корисна для розв'язання трикутників, коли відомі три сторони (SSS) або дві сторони та кут між ними (SAS). Ця теорема є узагальненням теореми Піфагора.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab C
c2=a2+b2−2abcosC
Формула площі трикутника (Формула Герона)
Формула Герона дозволяє обчислити площу трикутника, якщо відомі всі три його сторони. Спочатку обчисліть півпериметр s = (a + b + c)/2, потім скористайтеся наведеною нижче формулою. Це одна з найвишуканіших формул у геометрії.
Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) де s = ((a+b+c) ÷ 2)
Area=s(s−a)(s−b)(s−c)деs=2a+b+c
Приклади розрахунку трикутника
Приклад 1: Рівносторонній трикутник
Рівносторонній трикутник має всі три сторони по 20 метрів. Знайдіть усі кути та площу.
Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:
Які кути та площа рівностороннього трикутника зі сторонами 20 метрів?
Калькулятор повертає:
Усі кути становлять 60° (π/3 радіан), площа = 173,205 м²
Solution Steps:
Дано: усі сторони a = b = c = 20 метрів
У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні
Кожен кут = 180° / 3 = 60° = π/3 радіан
Використовуючи формулу площі: площа = (√3/4) × 20² = 173,205 м²
З точки, що знаходиться на відстані 1500 метрів від підніжжя гори, кут підйому до піку становить 35°. Якщо спостерігач знаходиться на рівні землі, якою є висота гори?
Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:
Знайдіть висоту, якщо горизонтальна відстань = 1500 м, а кут = 35°.
Калькулятор повертає:
Висота ≈ 1050,3 метра
Solution Steps:
Дано: горизонтальна відстань = 1500 м, кут підйому = 35°
Використовуючи тригонометрію прямокутного трикутника: tan(35°) = висота / 1500
висота = 1500 × tan(35°) ≈ 1500 × 0,7002
висота ≈ 1050,3 метра
Використана формула:
h = 1500 × (35°) ≈ 1500 × 0,7002 ≈ 1050,3
h=1500×tan(35°)≈1500×0,7002≈1050,3
Приклад 5: Проєктування кроквяної ферми
Кроквяна ферма має горизонтальну балку довжиною 14 метрів. Дві похилі балки сходяться в піку на висоті 7 метрів над центром. Знайдіть довжину кожної похилої балки.
Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:
Знайдіть довжину похилої балки, якщо основа = 7 м (половина від 14) та висота = 7 м.
Калькулятор повертає:
Кожна похила балка ≈ 9,90 метра
Solution Steps:
Половина основи = 14/2 = 7 метрів
Висота = 7 метрів
Використовуючи теорему Піфагора: s² = 7² + 7²
s² = 49 + 49 = 98
s = √98 ≈ 9,90 метра
Використана формула:
s = √(7^2 + 7^2) = √(49 + 49) = √(98) ≈ 9,90
s=72+72=49+49=98≈9,90
Приклад 6: ASA - два кути та сторона між ними
У геодезії два кути трикутної ділянки становлять 55° та 65°, а сторона між ними дорівнює 60 метрам. Знайдіть дві інші сторони.
Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:
Дано ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 60 м, знайдіть сторони a та c.
Калькулятор повертає:
a ≈ 56,76 м, c ≈ 62,75 м
Solution Steps:
Дано: ∠A = 55°, ∠C = 65°, b = 60 м
Знайдіть ∠B = 180° - 55° - 65° = 60°
Використовуючи теорему синусів: a/sin(55°) = 60/sin(60°)
a = 60 × sin(55°) / sin(60°) ≈ 56,76 м
Аналогічно, c ≈ 62,81 м
Використана формула:
(a ÷ 55°) = (60 ÷ 60°) a = ((60 × 55°) ÷ 60°)
sin55°a=sin60°60⇒a=sin60°60×sin55°
Приклад 7: Прямокутний трикутник (окремий випадок)
Прямокутний трикутник має один катет 30 см і гіпотенузу 50 см. Знайдіть інший катет та всі кути.
Ви можете використовувати наш калькулятор, ввівши:
Дано: один катет = 30 см, гіпотенуза = 50 см, один кут = 90°.